2012全国100套中考数学压轴题分类解析汇编专题9几何三大变换相关问题--193100794.docVIP

2012年全国100套中考数学压轴题分类解析汇编 专题9：几何三大变换相关问题. 1. （2012北京市7分）在中，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点， 将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。 （1） 若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形， 并写出∠CDB的度数； （2） 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明； （3） 对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得 线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围。 【答案】解：（1）补全图形如下： ∠CDB=30°。 （2）作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD， ∵AB=BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC。 ∴AD=CD，AP=PC，PD=PD。 在△APD与△CPD中，∵AD=CD， PD=PD， PA=PC ∴△APD≌△CPD（SSS）。 ∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。 又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD。 ∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°。 ∴∠APQ+∠ADC=360°－（∠PAD+∠PQD）=180°。 ∴∠ADC=180°－∠APQ=180°－2α，即2∠CDB=180°－2α。 ∴∠CDB=90°－α。 （3）45°＜α＜60°。 【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，。 【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案： ∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM=AC。 ∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，∴AM=MQ，∠AMQ=120°。 ∴CM=MQ，∠CMQ=60°。∴△CMQ是等边三角形。 ∴∠ACQ=60°。∴∠CDB=30°。 （2）首先由已知得出△APD≌△CPD，从而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出。 （3）由（2）得出∠CDB=90°－α，且PQ=QD， ∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°－2α。 ∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD。 ∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°。 2. （2012海南省I11分）如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN. （1）求证：△AND≌△CBM. （2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？ （3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的长度. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。 ∴∠DAC=∠BCA。 又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。 ∴△AND≌△CBM（ASA）。 （2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。 又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM， ∴FN=EM。 又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC， ∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。 四边形MFNE不是菱形，理由如下： 由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900， ∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。 ∴FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。 （3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。 设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得 3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=。 过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。 在△NHM中，NH=3，HM=1， 由勾股定理，得NM=。 ∵PQ∥MN，DC∥AB， ∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，PQ= NM=。 又∵PQ=CQ，∴CQ=。 在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。 ∴NP=MQ=。∴PC=4－－=2。 【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。 【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到