2012全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编含答案.docVIP

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2012全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编含答案

2012各省数学竞赛汇集 2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题(70分) 1、当时,函数的最大值为__18___. 2、在中,已知则___4____. 3、从集合中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为____________. 4、已知是实数,方程的一个实根是(是虚部单位),则的值为________. 5、在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为,一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为,则直线的斜率为_______. 6、已知是正实数,的取值范围是________. 7、在四面体中,,,该四面体的体积为____________. 8、已知等差数列和等比数列满足:则______.() 9、将这个数排成一列,使任意连续个数的和为的倍数,则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为,三边均为整数,且,则满足条件的三元数组的个数为__24___. 二、解答题(本题80分,每题20分) 11、在中,角对应的边分别为,证明: (1) (2) 12、已知为实数,,函数.若. (1)求实数; (2)求函数的单调区间; (3)若实数满足,求证: 13、如图,半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点,为线段的中点.求线段长的取值范围. 14、设是正整数,是方程的两个根.证明:存在边长是整数且面积为的直角三角形. 2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 (高一年级) 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。) 1.已知集合N,且N,则 1 . 2.已知正项等比数列的公比,且成等差数列,则. 3.函数的值域为. 4.已知,,则. 5.已知数列满足:为正整数, 如果,则 5 . 6.在△中,角的对边长满足,且,则. 7.在△中,,.设是△的内心,若,则的值为. 8.设是方程的三个根,则的值为 -5 . 二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分) 9.已知正项数列满足且,,求的通项公式. 解 在已知等式两边同时除以,得, 所以 . ------------------------------------------4分 令,则,即数列是以=4为首项,4为公比的等比数列,所以. ------------------------------------------8分 所以,即 . ------------------------------------------12分 于是,当时, , 因此, ------------------------------------------16分 10.已知正实数满足,且,求的最小值. 解 令,,则 .----------------------------------------5分 令 ,则 ,且.------------------------------10分 于是 . ------------------------------15分 因为函数在上单调递减,所以. 因此,的最小值为. ------------------------------------------20分 11.设,其中且.若在区间上恒成立,求的取值范围. 解 . 由得,由题意知,故,从而,故函数在区间上单调递增. ------------------------------------------5分 (1)若,则在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为. 在区间上不等式恒成立,等价于不等式成立,从而,解得或. 结合得. ------------------------------------------10分 (2)若,则在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为. 在区间上不等式恒成立,等价于不等式成立,从而,即,解得. 易知,所以不符合. ------------------------------------------15分 综上可知:的取值范围为. ----

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