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全国各地中考数学解答题压轴题解析4

2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析(4) 1.(福建福州14分)已知,如图,二次函数图象的顶点为H,与轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线:对称. (1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上; (2)求二次函数解析式; (3)过点B作直线BK∥AH交直线于K点,M、N分别为直线AH和直线上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值. 【答案】解:(1)依题意,得,解得1=﹣3,2=1, ∵B点在A点右侧,∴A点坐标为(﹣3,0),B点坐标为(1,0)。 ∵直线:, 当=﹣3时,,∴点A在直线上。 (2)∵点H、B关于过A点的直线:对称,∴AH=AB=4。 过顶点H作HC⊥AB交AB于C点, 则AC=AB=2,HC=。 ∴顶点H(-1,)。 代入二次函数解析式,解得, ∴二次函数解析式为。 (3)直线AH的解析式为,直线BK的解析式为, 由,解得。∴K(3,)。则BK=4。 过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,过点K作KD⊥AB,垂足为点D。 ∵点H、B关于直线AK对称, ∴HN+MN的最小值是MB, 。 且QM=MK,QE= KE= KD= ,AE⊥QK。 ∴BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值。 ∵BK∥AH,∴∠BKQ=∠HEQ=90°。由勾股定理得QB=8。 ∴HN+NM+MK的最小值为8。 【考点】二次函数综合题,解一元二次方程,轴对称的性质,解二元一次方程组,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理。 【分析】(1)解出方程,即可得到A点坐标和B点坐标;把A的坐标代入直线即可判断A是否在直线上。 (2)根据点H、B关于过A点的直线:对称,得出AH=AB=4,过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,求出AC和HC的长,得出顶点H的坐标,代入二次函数解析式,求出,即可得到二次函数解析式。 (3)解方程组,即可求出K的坐标,根据点H、B关于直线AK对称,得出HN+MN的最小值是MB,过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,得到BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,由勾股定理得QB=8,即可得出答案。 2.(福建泉州14分)如图1,在第一象限内,直线y=mx与过点B(0,1)且平行于x轴的直线l相交于点A,半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E,且与直线l分别交于不同的M、N两点. (1)当点A的坐标为(,p)时, ①填空:p=___ ,m= ___,∠AOE= ___. ②如图2,连接QT、QE,QE交MN于点F,当r=2时,试说明:以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形; (2)在图1中,连接EQ并延长交⊙Q于点D,试探索:对m、r的不同取值,经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c,a的值会变化吗?若不变,求出a的值;若变化.请说明理由. 【答案】解:(1) 1,,60°。 (2)如图,连接TM,ME,EN,QN,QM , ∵OE和OP是⊙Q的切线, ∴QE⊥x轴,QT⊥OT,即∠QTA=90°。 而l∥x轴,∴QE⊥MN。∴MF=NF。 又∵r=2,EF=1,∴QF=2-1=1。 ∴四边形QNEM为平行四边形,即QN∥ME。 ∴EN=MQ=EQ=QN,即△QEN为等边三角形。∴∠NQE=60°,∠QNF=30°。 在四边形OEQT中,∠QTO=∠QEO=90°,∠TOE=60°, ∴∠TQE=360°-90°-90°-60°=120°。∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°。 ∴T、Q、N三点共线,即TN为直径。∴∠TMN=90°。 ∴TN∥ME,∴∠MTN=60°=∠TNE。 ∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。 (3)对m、r的不同取值,经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c,a的值不会变化。 理由如下:如图,连DM,ME, ∵DM为直径,∴∠DME=90°。 而DM垂直平分MN,∴Rt△MFD∽Rt△EFM。 ∴MF2=EF?FD。 设D(h,k),(h>0,k=2r), 则过M、D、N三点的抛物线的解析式为: y=a(x-h)2+k。 又∵M、N的纵坐标都为1, 当y=1时,a(x-h)2+k=1,解得x1=,x2=。 ∴MN=2。∴MF=MN=。 ∴。∴ 。∴a=-1。 ∴对m、r的不同取值,经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c,a的值会变化,a=-1。 【考点】一次、二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,切线的性质,平行四边形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,多边形内角和定理,平行的判定和性质,等腰梯形的判定,垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定和性质。 【分析】(

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