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圆锥曲线2009年理科高考解答题荟萃 1.（2009浙江理）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为． （I）求椭圆的方程； （II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值． （I）由题意得所求的椭圆方程为， （II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有， 设线段MN的中点的横坐标是，则， 设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或； 当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1． 的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值. 【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． （Ⅰ）由题意，得，解得， ∴，∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得. 由及得， ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B， ∴，且， 设A、B， 则， ∵，且 ， . ∴ 的大小为. 【解法2】（Ⅰ）同解法1. （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得.由及得 ① ② ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B， ∴，设A、B， 则， ∴，∴ 的大小为. （∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）. 3.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。 4.(2009山东卷理)设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N (,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N (,1)两点, 所以解得所以椭圆E的方程为 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 则△=,即 ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 因为, 所以, , ①当时 因为所以, 所以, 所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或, 所以此时, 综上, |AB |的取值范围为即: 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系. 5.（广东卷）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合． 若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程； 若曲线与有公共点，试求的最小值． 与得，则中点， 设线段的中点，则，即，又点在曲线上， ∴化简可得，又点是上的任一点，且与点和点重合，即， ∴中点的轨迹方程（）. （2）曲线， 即圆：，其圆心坐标为，半径 由图可知，当时，曲线与点有公共点； 当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为. 6.（2009安徽卷理）点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为. （I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点； （II）证明:构成等比数列. 解析：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。 证明 （I）（方法一）由得代入椭圆, 得. 将代入上式,得从而 因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P. (方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得 即故P与Q重合。 （方法三）在第一象限内，由可得 椭