周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第五章3分析力学.ppt

小 结 拉格朗日 系统的势能由弹簧势能与重力势能所 组成，以O点为共同的势能零点： 拉格朗日函数 4、应用拉格朗日方程运动微分方程 ? x O x l0 A B C k 例2 不可伸缩的柔软轻绳绕过两个定滑轮杯和一个动滑轮(图), 滑轮的重量很轻, 质量为m1, m2和m3的物体分别悬挂于绳的两端和动滑轮下. 求各物体的加速度. 解: 三个物体作上下方向的一维运动, 又受到一不可伸缩的绳的限制,因此只有2个自由度. 取左右两边的绳长l1和l2作为力学系统的广义坐标. l1+2l3+l2=常数l. 三个物体受到的都是重力, 是保守系统, 所以 l1 l3 l3 l2 m2 m1 m3 拉格朗日方程给出 * 第五章 分析力学 拉格朗日 哈密顿 达朗贝原理 基本拉格朗日方程 保守系的拉格朗日方程 导读 §5.3 拉格朗日方程 循环积分 广义速度 广义动量 按照牛顿运动定律, 力学系统的第i质点的运动方程是 只要把最后一项理解为一种力, 上式就变为平衡方程的类型. 事实上, 研究第i质点的运动时, 若选用跟随这质点一同平动的参考系统, 这质点显然是(相对)静止的, 它应当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫作达朗伯原理. ——达朗伯-拉格朗日方程 1 达朗伯原理 达朗伯原理是以牛顿定律加上理想约束假定作为逻辑推理的出发点导出的. 从这个基本法出发再利用约束对虚位移的限制关系式, 可以导出力学系统的动力学方程，从而概括了力学系统的运动规律. 由于约束的性质是纯几何的或运动学的, 因此可认为真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基本方程, 故称之为“原理”. 这比承认牛顿定律再加上理想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性. 当存在非理想约束时, 达朗伯原理也适用,它可叙述为：主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和为零. 对于完整约束或非完整约束, 这个原理都适用, 因此它可以称为分析动力学的普遍原理. 动力学普遍方程的直角坐标形式 适用于具有稳定（或非非稳定）约束的系统； 适用于具有完整（或非完整）约束的系统； 适用于具有保守力（或非保守力）的系统。 适用于具有理想约束或双面约束的系统； 2 动力学普遍方程 ＊ 达朗贝尔－拉格朗日方程主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。 ＊ 应用达朗贝尔－拉格朗日方程求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 ＊ 由于达朗贝尔－拉格朗日方程中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 ＊ 应用达朗贝尔－拉格朗日方程时，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 例 题 1 离心调速器 已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； ?－ O1 y1轴的旋转角速度。 求： ?－ ? 的关系。 ? B A C l l l l ? ? O1 x1 y1 3 应用举例 解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度。 取广义坐标 q=? 1、分析运动、确定惯性力 球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为 2、给系统有一虚位移 ? ?。A、B、C 三处的虚位移分别为?rA、?rB、 ?rC ? C l l l l ? ? O1 x1 y1 A B FIB FIA m1 g m1 g m2 g ?? ?rB ?rA ?rC 3、应用达朗贝尔－拉格朗日方程 根据几何关系，有 ? C l l l l ? ? O1 x1 y1 A B FIB FIA m1 g m1 g m2 g ?? ?rB ?rA ?rC 例 题 2(略） 质量为m1的三棱柱ABC通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。 求：1、三棱柱后退的加 速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三 棱柱加速度ar。 x y C2 D C1 A C B ? O 解：1、分析运动 三棱柱作平移，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae= a1 ；质心的相对加速度为ar；圆轮的角加速度为?2。 2、施加惯性力 x y C2 D C1 A C B ? O m1g m2g a1 ae F12 F11 M12 ?2 3、确定虚位移 考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度 x y C2 D C1 A C B ? O m1g m2g F12r F12 F11 M12 ? x ? ? 4、应用达朗贝尔－拉格朗日方程 求解联立方程，得： x y C2 D C1 A C B ? O m