中国海洋大学电磁场的相关课件讲述.ppt

* [证] 例：证明： §1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokes’s theorem 任何旋度场一定是无散场。 任一矢量场 的旋度的散度一定等于零。 任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。 §1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokes’s theorem 一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数； 旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系； 如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）； 在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律； 在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。 4旋度与散度的区别： 因为旋度代表单位面积的环量, 因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和, 即 此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。 它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分, 或反之。 1 .3 .3 斯托克斯定理 The Stokes’s theorem §1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokes’s theorem 自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为 例： 求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽× 。 §1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokes’s theorem 解： §1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokes’s theorem 可见, 向分量为零; 同样, 向和 向分量也都为零。 故 这说明点电荷产生的电场是无旋场。 因 §1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokes’s theorem 证明下述矢量斯托克斯定理： 两边同时进行体积分有 （1-37） 例1 .4 式中S为包围体积V的封闭面。 [证] 设 为一任意常矢，则 §1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokes’s theorem 根据散度定理，上式左边等于 于是得 由于上式中常矢 是任意的，故式（1-37）必成立。 §1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokes’s theorem §1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 标量场φ(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为φ 沿该方向的方向导数 。它的值与所选取的方向 有关, 设 方向导数 一、方向导数与梯度 * 矢量 在 上的投影等于 在该方向上的方向导数。 则方向导数 引入 算子 §1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 * 二、梯度 的模是 在给定点上的最大方向导数 其方向就是具有该最大方向导数的方向，也就是 的变化率最大的方向。 则 若 梯度: §1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 梯度 gradient 是一个矢量 ??的模就是??在给定点的最大方向导数 方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即??的变化率最大的方向。 §1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 * 三、等值面 对等值面上的任意方向 ， 即 结论：梯度的方向就是等值面的法线方向： §1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 梯度运算规则: §1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 * 试证明运算规则 [证] 所以等式成立 例 §1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 2、梯度的物理意义 1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数； 2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。 任一标量场? 的梯度的旋度一定等于零。 任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度 任何梯度场一定是无旋场。 梯度的重要性质 §1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 将散度定理中矢量A表示为某标量函数ψ的梯