《数值分析-李庆杨》第2章 插值法.pptVIP

§2.1 引 言 §2 拉格朗日插值 §2.3 差商与牛顿插值 §2.3.4 差分与等距节点插值 二、三次样条插值函数的建立 三、误差界与收敛性 作业 P60, 20(1)只列出方程组; 20(2)应得结果. 由(3.4)得差商表: f[x0, x1] f[x1, x2] f[x0,x1,x2] f[x2, x3] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2,x3] f[x3, x4] f[x2, x3,x4] f[x1,x2,x3,x4] … ┆ ┆ ┆ f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) ┆ x0 x1 x2 x3 x4 ┆ 0 1 2 3 4 ┆ 一阶差商 二阶差商 三阶差商 … f(xk) xk k 2.3.3 牛顿插值多项式 （3.7） （3.8） 牛顿均差插值多项式 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2 -1/6 1/24 1 4 7 8 6 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 f(xk) xk k 上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分． 一、差分及其性质 差分的基本性质: 差分表: ?2f0 ?2f1 … ┆ ?2f2 ┆ ┆ ?f0 ?f1 ?f2 ?f3 ┆ f0 f1 f2 f3 f4 ┆ 0 1 2 3 4 ┆ ?2 ?3 … ? fk k 二、等距节点插值公式 §2.4 埃尔米特插值 §2.5 分段低次插值 一、高次插值的病态性质 上面我们用插值多项式Ln(x)近似f(x),一般认为Ln(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好，实际并非如此。 龙格给出了一个等距节点插值多项式Ln(x)不收敛于 f(x)的例子。他给出的函数为f(x)=1/(1+x2),它在[-5,5]上各阶导数均存在。在[-5,5]上取n+1个等距节点 所构造的拉格朗日插值多项式为 如下表所示， n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.137931 0.066390 0.054463 0.049651 0.047059 0.045440 0.044334 0.043530 0.042920 0.042440 0.759615 -0.356826 0.607879 -0.831017 1.578721 -2.755000 5.332743 -10.173867 20.123671 -39.952449 -0.621864 0.423216 -0.553416 0.880668 -1.531662 2.800440 -5.288409 10.217397 -20.080751 39.994889 龙格证明了，存在一个常数c≈3.63,使得 下面取n=10，根据计算画出 可以看出，在x=±5附近 这说明用高次插值多项式Ln(x)近似f(x)效果并不好，因而通常不用高次插值，而用分段低次插值。 。 -5 1.5 y x 5 0 1.0 0.5 二、分段线性插值 所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x). 二、分段三次埃尔米特插值 分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足 根据以上证明可得： §7 样条插值 问题背景… 一、样条插值的概念 * 第2章 插值法 一、问题背景 用来表示某种内在规律的数量关系。但有些只能给出[a,b]的一系列点，有些虽有解析表达式但计算复杂，它们都只能形成一个函数表。但在很多情况下，我们往往需要求出不在表上的函数值，所以我们希望做一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函p(x)，用p(x) 近似f(x)。 应用：例如程控加工机械零件等