《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分.pptVIP

§5 高斯求积公式 一、一般理论 二、高斯－勒让德求积公式 n 1 0 2 xk Ak xk Ak n 5 4 3 0.000 000 0 ±0.577 350 3 ±0.774 596 7 0.000 000 0 2.000 000 0 1.000 000 0 0.555 555 6 0.888 888 9 ±0.861 136 3 ±0.339 981 0 ±0.906 179 8 ±0.538 469 3 0.000 000 0 ±0.932 469 5 ±0.661 209 4 ±0.238 619 2 0.347 854 8 0.652 145 2 0.171 324 5 0.360 761 6 0.467 913 9 0.236 926 9 0.478 628 7 0.568 888 9 高斯-勒让德求积公式的节点和系数 三、高斯－切比雪夫求积公式 §6 数值微分 一、中点方法与误差分析 h 1 0.5 0.1 0.3660 0.3564 0.3535 0.001 0.0005 0.0001 0.05 0.01 0.005 0.3530 0.3500 0.3500 0.3500 0.3000 0.3000 G(h) h h G(h) G(h) 从表中可以看出，h=0.1的逼近效果最好，如果进一步缩小步长，则逼近效果反而差。 二、插值型的求导公式 本章介绍的几种求积方法各具特点： (1)梯形和抛物形求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较 差的被积函数有时效果比用高精度的方法还好，再加上公 式简单，因而使用非常广泛.特别在计算机上，复化的梯形 公式和抛物形公式便于采用逐次对分的方法，计算程序十 分简单. (2)龙贝格求积方法，其算法简单，程序也便于实现，且当节 点加密时，前面的计算结果直接参与后面的计算，因而大 大减少了计算量. 此方法的一个最大缺点是节点的增加是 成倍的. 结束 (3)高斯型求积公式，该方法是最高代数精度的求积方法， 但它的节点和求积系数都没有规则，当节点增加时，前 面的计算结果不能被利用，只能重新计算.因此上机计算 时，需要事先输入节点数和各种高斯型求积公式的节点与 系数表.它的最大优点是适用于某些无穷区间上的广义积分 的计算. 结束 * 原积分的准确值 2.2 误差估计 现对牛顿 ― 柯特斯求积公式所产生的误差作一个分析。由式(2―4),牛顿 ― 柯特斯求积公式的余项为 易知,牛顿 ― 柯特斯求积公式(2―5)对任何不高于n次的多项式是准确成立的。这是因为 f(n+1)(ξ)≡0 故 Rn(f)≡0 一般说来,若某个求积公式对于次数不高于m的多项式都准确成立(即Rn(f)≡0),而对于某一次数为m+1的多项式并不准确成立(即Rn(f) 0),则称这一求积公式的代数精确度为m。 ? 牛顿 ― 柯特斯求积公式的代数精确度至少为n。通常在基点个数相等的情况下,代数精确度愈高,求积公式就愈精确。 定理1 (梯形公式的误差)设f(x)在区间［a, b］上具有连续的二阶导数,则梯形求积公式的误差为 由于 ω1(x)=(x-a)(x-b) 证 由式(2―4)知,梯形公式的余项为 (2―11) 在区间(a, b)内不变号,f″(ξ)是x的函数且在［a,b］上连续,故根据积分第二中值定理参见有关《数学分析》教材中“一元函数积分学第二中值定理”。 知,存在某一η∈(a, b)使 定理2 (抛物线公式的误差)设f(x)在［a, b］上有连续的四阶导数,则抛物线公式的误差为 (2―12) 二、偶阶求积公式的代数精度 先看辛普森公式,它是二阶牛顿-柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度。进一步用f(x)=x3进行检验，按辛普森公式计算得 定理3 当阶n为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有n+1次代数精度。 三、辛普森公式的余项 §4.3 复化求积公式 4.3.1 复合梯形公式 对于定积分