《数值分析-李庆杨》第7章 非线性方程求根.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 二、斯蒂芬森迭代法 k xk yk zk 0 1 2 3 4 5 1.5 1.41629 1.35565 1.32985 1.32480 1.32472 2.37500 1.84092 1.49140 1.34710 1.32518 12.3965 5.23888 2.31728 1.44435 1.32714 说明: (2.2)不收敛,(3.3)可能收敛; (2.2)线性收敛,(3.3)平方收敛! k xk yk zk 0 1 2 3.5 3.73444 3.73307 3.60414 3.73381 3.66202 3.73347 §4 牛顿法 一、牛顿法及其收敛性 牛顿法是非线性方程线性化的方法。其计算步骤为: ①给出初始近似根x0及精度ε。 ②计算 ③若｜x1-x0｜＜ε,则转向④;否则,转向②。 ④输出满足精度的根x1,结束。 牛顿法的计算框图见图7.4。 图 7.4 牛顿法有明显的几何解释，方程f(x)=0的根x*可解释为曲线y=f(x)与x轴的交点的横坐标. 设xk是跟x*的某个近似值, 过曲线y=f(x)上横坐标为xk的点Pk引切线, 并将该切线与x轴的交点的横坐标xk+1作为x*的新的近似值. 注意到切线方程为 y=f(xk)+f＇(xk) (x-xk). 这样求得的值xk+1必满足（4.1）式，从而就是牛顿公式（4.2）的计算结果. 由于这种几何背景,牛顿法亦称为切线法. o x y x* X k+1 Pk y=f(x) X k 二、牛顿法应用举例 k xk 0 1 2 3 0.5 0.57102 0.56716 0.56714 k xk 0 1 2 3 4 10 10.750000 10.723837 10.723805 10.723805 三、简化牛顿法与牛顿下山法 k xk xk xk f(xk) 0 1 2 3 4 1.5 1.34783 1.32520 1.32472 0.6 17.9 发散 0.6 -1.384 1.140625 -0.656643 1.36181 0.1866 1.32628 0.00667 1.32472 0.0000086 四、重根情形 k xk (1) (2) (3) 0 1 2 3 x0 x1 x2 x3 1.5 1.458333333 1.436607143 1.425497619 1.5 1.416666667 1.414215686 1.414213562 1.5 1.411764706 1.414211438 1.414213562 §5 弦截法 k xk 0 1 2 3 4 0.5 0.6 0.56532 0.56709 0.56714 解 设取x0=0.5,x1=0.6作为开始值，用弦截法求得的结果见表7-10，比较例题7牛顿法的计算结果可以看出，弦截法的收敛速度也使相当快得。 例11 用抛物线法求解方程f(x)=xex-1=0. 解 设用表7-10的前三个值x0=0.5， x1=0.6， x2=0.56532作为开始值计算得 §6 求根问题的敏感性与多项式的零点 1.求根问题的敏感性与病态代数方程 （a）良态 （b）病态 图（7-8） * * * * * §1 方程求根与二分法 第7章 解非线性方程的迭代法 一、引言 非线性方程的分两类： 则可用有哪些信誉好的足球投注网站法求有根区间. x ?1 0 1 2 f(x)的符号 ? ? + + 方程根的数值计算大致可分三个步骤进行: (1) 判定根的存在性。 (2)确定根的分布范围,即将每一个根用区间隔离开来。 (3)根的精确化,即根据根的初始近似值按某种方法逐步精确化,直至满足预先要求的精度为止。 设f(x)为定义在某区间上的连续函数,方程(1.1)存在实根。虽然方程(1.1)的根的分布范围一般比较复杂,但我们不难将函数f(x)的定义域分成若干个只含一个实根的区间。 例如考虑方程 x2-2x-1=0 由图7.1所示,该方程的一个负实根在-1和0之间,另一个正实根在2和3之间。 图 7.1 这样,我