《微积分教学资料 陈军杰》1-1数列极限.pptVIP

三、数列的极限 * 数列极限 一、概念的引入 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 播放 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 二、数列的定义 例如 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 播放 三、数列的极限 观察数列 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察: 对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的 凭观察能判定数列 的极限是多少吗 显然不能 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注 ①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个 动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε 定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给 ε＞0标志着“要多小”的要求，用n ＞N表示n充分 大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数 N，30，不等式|xn－a|＜ε（n ＞N） ②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是 ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意 性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通 过ε的相对固定性来实现）。 ③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。 重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n ＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。 在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示 |xn－a| ＜ ε n ＞ N ④定义中的不等式|xn－a|＜ ε（n ＞N）是指下面 一串不等式 都成立， 而对 则不要求它们一定成立 数列极限的几何意义 使得 N 项以后的所有项 都落在a点的ε邻域 因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。 注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证明 因此 则当n ＞N时，有 利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式 |xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。 若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N 放大的原则： ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限 例2 证明 证明 则当n ＞N时，有 例3 证 若q=0则上式显然成立 下证q≠0的情形 （不妨设ε＜1） 注 在论证极限问题时，都可以假设ε＜1，因为 若对小于1的ε已经得到项数指标N，则对于 大于1的ε上述项数指标N仍合乎定义要求。 例4 证 四、数列极限的性质 1.有界性 例如, 有界 无界 定理1 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. [分析] 直接证明较困难，采用反证法 由数列极限的几何意义， 在a的任一ε邻域内聚集着xn中的无穷多个点，而在该邻域之外至多有xn中的有限个点 证 用反证法 a ≠b不妨设a ＜ b 矛盾，这说明结论成立 例5 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 在数列 {xn }中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列： 定理3 若数列xn 收敛于a ，则它的任一子数列 也收敛，且极限也是a 这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛于不同的极限值，则xn一定是发散的。 例6 对于数列xn 证 此时有 此时有 总之： 恒有 五.小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性唯一性. 思考题 证明 要使 只要使 从而由 得 取 当 时，必有 成立 思考题解答 ~ （等价） 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明