《微积分教学资料 苏德矿》2（59-90）.docVIP

第二章 微分了解 导数的物理意义，微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，高阶导数的概念，柯西中值定理曲率曲率半径的概念会 求平面曲线的切线方程和法线方程，用导数描述一些物理量，求函数的微分求简单函数的阶导数求分段函数的导数，求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数用柯西中值定理用导数判断函数图形的凹凸性内，设函数具有二阶导数。当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，描绘函数的图形计算曲率和曲率半径．理解 导数和微分的概念，导数与微分的关系，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，函数的极值概念，掌握 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，函数最大值和最小值的求法及其应用．导数的概念 导数概念的实际背景是曲线上一点切线斜率与质点作变速直线运动在某时刻的瞬时速度 定义2.1 设函数y=f(x)在点x0的某域U(x0)内有定义，若极限 存在，则称f(x)在点x0可导，并称此极限值为f(x)在点x0处的导数（或微商），记作 f(x0)或y|x=x0或，即 若极限不存在，则称函数y=f(x)在点x0不可导 注1用于涉及已知抽象函数可导，证明其它结论或已知其它条件，证明函数可导 注2 用于利用定义求函数的导函数 注3用于求函数在一点的导数 特别反之 若（常数）且f(x)在x=0处连续，则f(0)=A事实上，由知，利用上面结果知结论正确。 注4要弄清导数定义的本质即 （1）若（a可以是常数，可以是）时，（从0两侧趋于0），且 ， 则f(x)在x=x0处可导且f(x0)=A证 （2）若（可以是常数，可以是）时，从x0两侧趋于x0），且 ，则f(x)在x=x0处可导且f(x0)=A证。 定义 若 称为f(x)在x=x0处的左导数， 定义 称为f(x)在x=x0处的导数定理 . 这个定理是判断在分界点x0两侧表达式不同的分段函数在x0处是否可导的一种方法。 例 若（1）（2）两式的极限存在且相等，则f(x)在x=x0处可导，否则f(x)在x=x0处不可导 若 研究f(x)在x=x0处是否可导就不必用左右导数的定义，只须用导数定义，即 如果（3）式极限存在，则f(x)在x=x0处可导，否则f(x)在x=x0处不可导。 3）几何意义 若f(x0)存在，则f(x0)表示曲线y=f(x)上点处切线的斜率 且 切线方程为 ； 法线方程为 。 若f(x0)=0，此时切线方程为y=f(x0)，法线方程为x=x0。 定理 若f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处连续，反之不一定。 例如 f(x)=|x|在x=0处连续，但在x=0处不可导。若f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导。 这个定理为判断f(x)在x0处是否可导提供了一个简便方法：如果f(x)在x=x0处极限不存在或不连续，则f(x)在 x=x0处不可导，就不必用导数定义去验证了。 4）若f(x)在区间X上每一点都可导，即， 按函数定义知f(x)是区间X上的函数，称为f(x)在区间X上的导函数或简称为导数。 如果求出了区间X上的导函数，则由此可知求f(x)在x=x0处的导数有两种方法： （1）用定义 （2）若能求出f(x)或f(x)已知且f(x)在x=x0处有意义，则f(x0)=f(x)| x=x0。 根据具体情况选用一种方法。 定义 设y=f(x)在x的某域U(x)内有定义，若可表示为 其中A是与无关的量，则称y=f(x)在点x处可微，的线性主部，并称其为y=f(x)在x处的微分，记为，即二 1．导数的四则运算 设u=u(x)，v=v(x)在点x处可导，则u±v ，在点x处可导，且 （1）；（2）；特别地 v=c（常数），； （3）,特别地 2．定理 反函数求导法则 设y=f(x)为函数的反函数，若在点y0的某邻域内连续，严格单调且，则f(x)在点可导，且。 推论 设y=f(x)为函数的反函数，若严格单调且存在且 。 3．定理 复合函数求导法则 设函数在x=x0处可