《微积分教学资料 苏德矿》3（91-134）.docVIP

第二节 微分中值定理及其应用 1. 定义 若存在x0的某邻域，使得对一切，都有 则称为极大值（极小值），称x0为极大（小）值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。，称为驻点或稳定点。 定义 设在内可导,且曲线在曲线上任意一点切线的上方,则称曲线在该区间内是上凹或下凸;如果曲线在曲线上任意一点切线的下方,则称曲线在该区间内是下凹或上凸. 定义 设在的某领域内连续,且是曲线上凹与下凹的分界点,称为曲线的拐点或变凹点注：极值点与拐点的区别,极值点是取到极值的横坐标,拐点是曲线上的点 是一对有序数组. 拐点的横坐标一定含在与不存在的点之中. 定义 设函数在上有意义,若存在一个已知的直线 (a,b为常数),使得曲线上的动点M :当它沿着曲线无限远离原点(即 )时,点M 到直线L的距离d趋于0, 则称直线L是曲线当时的斜渐近线. 定义 若曲线上点M 沿着曲线无限远离原点时,M到直线是曲线的垂直渐近线或铅垂渐近线.费马（Femat）定理（取到极值的必要条件） 设f(x)在点x0处取到极值，且存在，则 反之不真，例如但f(0)不是极值。 费马定理常用于证明f(x)=0有一个根，找一个F(x)，使证明F（x）在某点x0处取到极值且存在，由费马定理知即 罗尔（Rolle）定理 设f(x)在闭区间[a,b]上满足下列三个条件： （1）f(x)在闭区间[a,b]上连续；（2）f(x)在开区间（a,b）内可导；（3）则至少存在一点使 推论 在罗尔定理中，若f(a)=f(b)=0，则在（a,b）内必有一点，使即方程f(x)=0的两个不同实根之间，必存在方程f(x)=0的一个根。 罗尔定理的应用：1 证明f(x)=0有一个根，找到一个F（x）,使，验证F（x）在某闭区间[a,b]上满足罗尔定理条件，则至少存在一点。2 证明适合某种条件的：把待证含有的等式，通过分析转化为形式，对F(x)应用罗尔定理即可。 拉格朗日（Lanrange）定理 若f(x)在闭区间[a,b]上满足下列二个条件： （1）f(x)在闭区间[a,b]上连续 （2）f(x)在开区间（a,b）内可导，则至少存在一点 拉格朗日定理的结论常写成下列形式： 上式中当ab时公式仍然成立，即不论a,b之间关系如何，总介于a,b之间，由 所以 拉格朗日定理是连结函数值与导函数值之间的一座桥梁，特别适合给出导数条件，要证明函数值关系的有关结论，拉格朗日定理主要应用是证明不等式单调性定理 设f(x)在区间 (可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半闭半开区间，也可以无穷区间)上连续，在内部可导（不需要在端点可导）， （1）若内部，则f(x)在区间上递增。 （2）若内部，则f(x)在区间上递减。 （3）若内部，则f(x)在区间上是常值函数。 若（1）中，则f(x)在区间上严格递增， 若（2）中，则f(x)在区间上严格递减。 推论 若f(x)在区间上连续，在区间内部可导，当内部，且f(x)在的任何于区间上，则f(x)在区间上严格递增（减）。 证 由，知f(x)在区间上递增，假设f(x)在上不是严格递增，即存在上递增，所以任给，有 从而 所以与条件矛盾，故f(x)在区间上严格递增，对于，同理可证f(x)在上严格递减。 单调性定理及推论是证明函数在某区间上（严格）单调或是常值函数和求函数（严格）单调区间的重要方法。 柯西（Cau chy）定理 设f(x),g(x)在闭区间上满足下列条件： （1）f(x),g(x)在上连续 （2）f(x),g(x)在内可导 （3），则至少存在一点使 证明与拉格朗日证明类似，只要把拉格朗日定理证明过程中b换成g(b)，a换成g(a)，x换成g(x)即可，读者可自证。柯西定理也可以用来证明不等式及适合某种条件的存在性，但没有拉格朗日定理和罗尔定理用得多。 泰勒（Tay lor）定理 设f(x)在区间上存在n+1阶导数，对每一个任给，有 其中是介于x0及x之间 称为拉格朗日余项, 当x0=0时，称为麦克劳林公式，即 称为麦克劳林余项。 佩亚诺（Peano）定理 若f(x)在点x0处存在n阶导数，则 称为泰勒公式的佩亚诺余项 相应的麦克劳林公式为 读者要记住5个常用函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式 带有拉格朗日余项的泰勒公式可