《微积分教学资料 苏德矿》4（135-152）.docVIP

第章 积分 考研大纲要求 了解积分的概念会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分求积分上限的函数的导数，计算积分理解 原函数概念，不定积分和定积分的概念积分上限的函数掌握 不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，换元积分法与分部积分法牛顿一莱布尼茨公式用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值等． 定义 设在区间上有定义，若存在一个可微函数，使得对。定义在区间上原函数 在区间上的全体原函数称为在区间上的不定积分，记作定理 若在区间上的一个原函数，则在区间的全体原函数为，是常数注：根据定义可知求出的的定义域至少要与的定义域一样。基本积分表 注：从不定积分表中可看出，求出不定积分形式可以不一样，如何验证所求不定积分的正确性，只要把所求的不定积分求导看是否为被积函数即可不定积分性质 性质1 性质2 性质3 若的原函数都存在，则（i）. 注1：从性质可知不定积分是导数的逆运算，正是利用这一性质，寻找哪个函数的导数为，则这个函数就是的一个原函数 2: 性质2告诉我们求不定积分的一个方法，即如何把形式，实际上就是这正是微分的逆过程，从而可以利用我们所学的微分基本公式，微分的四则运算，尤其是一阶微分形式不变性，把的不定积分1.凑微分（第一换元法） 的一个原函数，由分析过程可知 定理（凑微分）设 注给一个不定积分，要想运用，关是能否把被积表达式的形式，并且要求f(u)的原函数能求出来，在具体运用此定理时，一般不引入中间变量u，而直接写出结果，即为了熟练运用凑微分，记下列微分关系是必要的（其实就是求原函数1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. 10. 2．变量代换法 由一阶微形式的不变性知 t= 知 定理（变量代换法）若严格单调，可微，且，则 用变量代换求不定积分的具体步骤是 可导 ＝ 变量代换适合被积函数中含有式且不直接求出，也不能用线性运算法则或凑微分求出时，则需用变量代换，目的是为了去掉号，一般来说，当被积函数中含有 变量代换不仅适合于去号，只要通过变量代换能求出原函数都可以用3．分部积分 定理（分部积分法）若 在具体运用这个公式时，关是把被积函数表示成的形式，转化，从而转化为求不定积分分部积分适合下列情形，当的n次多项时， 1.2.. 3 .. 上面需要用次分部积分在下列情形中，的多项式或其它的表达式，当不能凑微分求出时，常常要用分部积分 4.5.. 6.. 在求不定积分时，需要基本不定积分表（还有一些重要的不定积结果），线性运算法则，凑微分，变量代换，分部积分综合运用。 重要的不定积分有 . 这些结果都要记住例 求解法 解法 同理可求，这两个结果要记住注千万不忘了加C，加了C是一族原函数，不加C只是一个原函数，相差甚远。 例 求 （＞0）解 令原式 作出直角三角形,可知于是 原式. 同理可得这两个结果要记住注1在利用三角变换时,代换回原变量时,尽管可以三角公式,但有时很麻烦,一般根据三角变换,画出直角三角形,求出三角形的各边长,然后根据三角函数的定义,非常方便地求出所需角t的三角函数。 注2在变量代换时，会遇到去绝对值，若绝对值中的式子，有时正，有时负，被积函数是初等函数，这时可不妨设绝对值中的式子大于零，不影响求不定积分，一般说，结果是一样的。 分别是n次和m次多项式，称 为有理函数，当m＜n时，称为有理真分式，当m≥n时，称为有理假分式，利用多项式除法，有理假分式可以化成多项式与有理真分式之和。由于多项式的不定积分可用幂函数的不定积分与线性运算法则求出，而有理真分式通过待定系数法或赋值法可化为第一类最简分式与第二类最简分式之和. 第一类最简分式的不定积分 第二类最简分式的不定积分 而 对于积分可利用后面的例题的结果来计算，然后把代入,便可求出我们还有下面的结果。 定理 一切有理函数的原函数总可以用多项式、有理函数、对数函数及反正切函数表达出来，即有理函数的原函数一定是初等函数。 三角函数有理式的不定积分 由 及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于的有理式，记作R 由于三角函数有理式 R（sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx）=R(sinx,cosx)，所以，我们只要讨论对于这类积分，我们可以利用变换t=tan, x把它们转化为t的有理函数的积分，从而求得函数。这是因为 sinx= cosx= 故. 显然，上式右端是关于变量t的有理函数的积分