《研究生课件 数理统计》2-2.pptVIP

* * 设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1, x2 , … . 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率. 第二章 第二节 离散型随机变量 这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律. 从中任取3 个球 取到的白球数X是一个随机变量 X可能取的值是0,1,2 取每个值的概率为 例1 且 其中 (k=1,2, …) 满足： k=1,2, … （1） （2） 定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称 为离散型随机变量X的概率分布或分布律，有的书上也称概率函数. 用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布 一、离散型随机变量概率分布的定义 解: 依据概率分布的性质: P(X =k)≥0, a≥0 从中解得 欲使上述函数为概率分布 应有 这里用到了常见的 幂级数展开式 例2. 设随机变量X的概率分布为： k =0,1,2, …, 试确定常数a . 二、表示方法 （1）列表法： （2）公式法 X~ 再看例1 任取3 个球 X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2 三、举例 例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 解： X可取0、1、2为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1 常常表示为： 这就是X的概率分布. (二)常见的离散型随机变量的概率分布 (I) 两点分布 ( 设E是一个只有两种可能结果的随机试验,用Ω={?1, ?2}表示其样本空间. P({?1})=p , P({?2})=1-p 　来源 X(?)= 1, ?= ?1 0, ?= ?2 200件产品中,有196件是正品,4件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定 例 5 X(?)= 1, 取到合格品 0, 取到不合格品 则 P{X=1}=196/200=0.98, P{X=0}=4/200=0.02 故 X服从参数为0.98的两点分布 . 即 X ～ B(1,0.98). 例6 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数. 贝努里概型 和 二项分布 (II) 我们来求X的概率分布. X的概率分布是： 男 女 X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为 p. X=0 X =1 X =2 X =3 X =4 X可取值0,1,2,3,4. 例7 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数 X的概率分布是： 不难求得， 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 一般地，设在一次试验中我们只考虑两个 互逆的结果：A或 ， 或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”. 新生儿：“是男孩”，“是女孩” 抽验产品：“是正品”，“是次品” 再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重复”是指这次试验中各次试验条件相同 ) 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型. 每次试验成功的概率都是p，失败的概率 都是q=1-p. 用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则 称r.v.X服从参数为n和p的二项分布，记作 X~B(n,p) 注: 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同； 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布. （2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 ， 且P(A)=p ， ； （3）各次试验相互独立. 例8 某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2.随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3只是次品的概率. 解: 设X为20只灯泡中次品的个数 ,则. X ~ B (20, 0.2)， (见新版书上P34,旧版书P36表) 下面我们研究二项分布B(n,p)和两点分布B(1,p)之间的一个重要关系. 说明 设试验E只有两个结果:A和 . 记p=P(A),则P(