《研究生课件 数理统计》2-3.pptVIP

(III) 、设X~ , X的分布函数是 (IV)、标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示： * * 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法. 第二章 第三节 连续型随机变量 ,使得对任意 , 有 对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数f(x) , x 则称 X为连续型r.v.,称 f(x)为 X 的概率密度函 数，简称为概率密度或密度. (I) 连续型r.v.及其概率密度函数的定义 (一) 概率密度函数 (II) 概率密度函数的性质 1 o 2 o 这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件. f (x) x o 面积为1 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度. 若x是 f(x)的连续点，则： =f(x) 3. 对 f(x)的进一步理解: 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. f (x) x o 若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 . 在连续型r.v理论中所起的作用与 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似. 4. 连续型r.v取任一指定值的概率为0. 即： a为任一指定值 这是因为 由此得， 1) 对连续型 r.v X,有 2) 由P(X=a)=0 可推知 而 {X=a} 并非不可能事件, 可见， 由P(A)=0, 不能推出 并非必然事件 由P(B)=1, 不能推出 B= （二）、随机变量的分布函数 设X(?)是一个随机变量. 称函数 F(x):= P{X≤x},-∞x∞ 为随机变量X的分布函数. 　分布函数的性质 （1）?ab,总有F(a)≤F(b)(单调非减性) （2）F(x)是一个右连续的函数 （3） ?x?R1 ,总有0≤F(x)≤1(有界性),且 定义 证明: 仅证(1) ∵{aX≤b}={X≤b}∩{Xa} ={X≤b}-{X≤a},而{X≤a}?{X≤b}. ∴ P{aX≤b}= P{X≤b}- P{X≤a} =F(b)- F(a). 又∵P{aX≤b}≥0, ∴F(a)≤F(b). 上述证明中我们得到一个重要公式: P{aX≤b}=F(b)- F(a). 它表明随机变量落在区间(a,b]上的概 率可以通过它的分布函数来计算. 注意 设离散型随机变量X的分布律为 pk:= P{X=xk} , k=1,2,…, X的分布函数 离散型随机变量的分布函数 分布函数F(x)是一个右连续的函数,在x=xk(k=1,2…)处有跳跃值 pk=P{X=xk},如下图(图2.2.1)所示 连续型 r.v.的分布函数 即分布函数是密度函数的可变上限的 定积分. 若 X 是连续型r.v.， X ～ f (x) , 则 F(x) = P(X x) = ～ 由上式可得，在 f (x)的连续点， 下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数. 例 设r.v X 的密度函数为 f (x) 求 F(x). F(x) = P(X x) = 解： 对x -1，F(x) = 0 对 对 x1， F (x) = 1 即 (三)常见的连续型随机变量 正态分布、均匀分布、指数分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由 高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布. 德莫佛 德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是