《研究生课件 数理统计》4-1.pptVIP

* * 第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 其中最常用的是 期望和方差 一、离散型随机变量的数学期望 概念的引入： 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？ 我们来看这个问题. 若统计100天, 例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？ 32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品; 可以得到这100天中 每天的平均废品数为 这个数能否作为 X的平均值呢？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品. 可以得到n天中每天的平均废品数为 (假定小张每天至多出三件废品) 一般来说,若统计n天, 这是 以频率为权的加权平均 由频率和概率的关系 不难想到，在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为 这是 以概率为权的加权平均 这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X的平均值 . 定义1 设X是离散型随机变量，它的概率分布是: P{X=Xk}=pk , k=1,2,… 也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和. 如果 有限,定义X的数学期望 数学期望的统计意义 请看演示 要了解数学期望的统计意义， 两点分布 X ～ B(1,p), 0p1 P{X=1}=p, P{X=0}=1-p ? E(X)=1?p+0?(1-p)=p 常见离散型随机变量的数学期望 二项分布 X ～ B(n,p)， 其中0p1 推导见（板）书，另一简单证明见期望的性质后面例题 泊松分布 X ～ P(?) 其中?0 , 则E(X)= ? 二、连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2 …,则X落在小区间[xi, xi+1)的概率是 小区间[xi, xi+1) 阴影面积 近似为 小区间[Xi, Xi+1) 由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替. 这正是 的渐近和式. 阴影面积 近似为 近似, 因此X与以概率 取值xi的离散型r.v 该离散型r.v 的数学期望是 由此启发我们引进如下定义. 定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果 有限,定义X的数学期望为 也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分. 若X~U[a,b],即X服从[a,b]上的均匀分布,则 若X服从 若X服从参数为 由随机变量数学期望的定义，不难计算得： 这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68. 已知某地区成年男子身高X~ 三、随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出： 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 如何计算随机变量函数的数学期望? 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来. 使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的. 类似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式: 设X是一个随机变量，Y=g(X)，则 当X为离散型时,P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时,X