《研究生课件 数理统计》4-2.pptVIP

* 第四章第二节 方 差 上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差 一、方差的定义 采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用. 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}∞，则称 Var(X)=E{[X-E(X)]2 } (1) 为X的方差. 注：有的书上记作D(X) 若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差Var(X)=0,则r.v. X 以概率1取常数值 . 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差较小； Var(X)=E[X-E(X)]2 X为离散型， P{X=xk}=pk 由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . X为连续型， X~f(x) 二、计算方差的一个简化公式 Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开 证：Var(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 利用期望 性质 请自己用此公式计算常见分布的方差. 例1 设r.v. X服从几何分布，概率函数为 P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,…，n 其中0p1,求Var(X) 解： 记q=1-p 求和与求导 交换次序 无穷递缩等比 级数求和公式 Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 +E(X) 求:Var(X) 解: 例 2 设连续型随机变量X的密度函数f(x)为: 例3 设随机变量X的期望和方差为E(X)和Var(X),且Var(X)0,求: 解: 设:X为某加油站在一天开始时贮存的油量,Y为一天中卖出的油量,(当然Y≤X). 设(X,Y)具有概率密度函数: 这里1表明1个容积单位. 求:每日卖出的油量Y的期望与方差. 例 4 解: 当y0或y1时 当0≤y≤1时 三、方差的性质 1. 设C是常数,则Var(C)=0; 2. 若C是常数,则Var(CX)=C2 D(X); 3. 若X1与X2 独立，则 Var(X1+X2)= Var(X1)+Var(X2); 可推广为：若X1,X2,…,Xn相互独立,则 X1 与X2不一定独立时， Var(X1 +X2 )=？ 请思考 4. Var(X)=0 P(X= C)=1， 这里C=E(X) P(X= x) 下面我们用一例说明方差性质的应用 .