《研究生课件 数理统计》4-3.pptVIP

* * 第四章第三节 协方差与相关系数 任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y), 定义为 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) 一、协方差 2.简单性质 ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 1.定义 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 若X1,X2, …,Xn两两独立,，上式化为 Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y) 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 . 二、相关系数 为随机变量X和Y的相关系数 . 定义: 设Var(X)0, Var(Y)0, 称 在不致引起混淆时，记 为 . 关于?XY的符号: 当 ?XY 0时,称X与Y为正相关. 当 ?XY 0时,称X与Y为负相关. 相关系数和协方差具有相同的符号,因此,前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到这里. 即 正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势. 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势. 相关系数的性质： 证: 由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数b,有 0≤Var(Y-bX)= b2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y ) 令 ，则上式为 Var(Y- bX)= 由方差Var(Y)是正的,故必有 1- ≥ 0,所以 | |≤1。 2. X和Y独立时， =0，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0. 故 = 0 但由 并不一定能推出X和Y 独立. 请看下例. 证明: 例 1 设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1 上的均匀分布,证明: ?XY =0。 ∴ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 同样得E(Y)=0 可易得 Var(X)0, Var(Y)0. ∴?XY =0, 故 X与Y不相关. 但是在例3.6.2(P82)计算过: X和Y不相互独立. 存在常数a,b(b≠0）， 使P{Y=a+bX}=1， 即X和Y以概率1线性相关.