《研究生课件 数理统计》5-2.pptVIP

* * 第五章第二节 中心极限定理 中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响. 空气阻力所产生的误差， 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 如瞄准时的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 在什么条件下极限分布会是正态的呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 的分布函数的极限. 的分布函数的极限. 可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布. 考虑 中心极限定理 这就是下面要介 绍的 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理. 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布. 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= Var(Xi)= ， i=1,2,…，则 定理(棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)). 请看演示 中心极限定理的直观演示 下面我们举例说明中心极限定理的应用 从演示不难看到中心极限定理的客观背景 例:20个0-1分布的和的分布 X1 ~f(x) X1 +X2~g(x) X1 +X2+X3~ h(x) 几个(0,1)上均匀分布的和的分布 0 1 2 3 x f g h 设一批产品的强度服从期望为14,方差为4的分布.每箱中装有这种产品100件. 求:(1).每箱产品的平均强度超过14.5的概率是多少. (2).每箱产品的平均强度超过期望14的概率是多少. n=100,设Xi是第i件产品的强度. E(Xi)=14,Var(Xi)=4 i=1,2, ?,100. 每箱产品的平均强度为 解: 例1 根据定理5.2.1 近似～N(0,1) 于是 计算机在进行数字计算时遵从四舍五入原则. 为使我们此题简单考虑,我们假定对小数点后面的第一位进行四舍五入运算. 则误差X这个随机变量可以认为服从 [-0.5,0.5]上的均匀分布. 现若在一项计算中一共进行了100次数字计算. 例2 ≈0.0866 求:平均误差落在区间 上的概率 解: n=100,设Xi是第i次运算的误差. ∵误差服从[-0.5,0.5]上的均匀分布 ∴ E(Xi)=(-0.5+0.5)/2=0 Var(Xi)=[0.5-(-0.5)]2/12=1/12 i=1,2, ?,100. ∴平均误差为 根据中心极限定理 近似～N(0,1) 于是 某单位有200部电话分机,每部电话约有5%的时间要使用外线通话.设每部电话是否使用外线通话是相互独立的. 求:该单位总机至少需要安装多少条外线才能以90%以上的概率保证每部电话需要使用外线时可以打通? 解: 例3 ∴ Xi ～ b(1,p).X1,X2 ,? ,X200相互独立. 设该单位总机安装k条外线,则: P{每部电话需要使用外线时可以打通} =P{使用外线的电话数目≤k} =P{X1+X2+?+X200 ≤k} 求最小的k,使 P{每部电话需要使用外线时可以打通}≥90% ?求最小的k,使P{X1+X2+?+X200 ≤k}≥90% ?求最小的k,使 ∴该单位总机至少需要安装14条外线.