《研究生课件 数理统计》第二章参数估计.pptVIP

第二章 参数估计 §1 参数的点估计 §2　估计量的评选标准 对于总体的同一个未知参数，由于采用的估计方法不同，可能会产生多个不同的估计量。这就提出了一个问题，当总体的同一个参数存在不同的估计量时，究竟采用哪一个更好？这涉及到用什么样的标准来评价估计量的好坏问题，对此，我们介绍几个常用的评价标准：无偏性、有效性和一致性。 §3　参数的区间估计 同理 但是 例:设(X1,X2, X3)是来自总体X的一个样本,证明下面的三个估计量都是总体均值E(X)的无偏估计量 证明 §2.3　一致性 估计量的无偏性和有效性都是在样本容量固定的前提下提出的.我们自然希望随着样本容量的增大,一个估计量的值稳定于待估参数的真值.这就对估计量提出了一致性的要求. 点估计有使用方便、直观等优点,但他并没有提供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参数的区间估计法. 例 对明年小麦的亩产量作出估计为: 即 若设X表示明年小麦亩产量,则估计结果为 P(800≤X≤1000)=80% 明年小麦亩产量八成为800-1000斤. 区间估计 这时必有 §3.1　正态总体均值μ的区间估计 §3.1.1　方差已知时均值的区间估计 由总体服从正态分布可得 0 a/2 ua/2 a/2 -ua/2 得到　　 从而 例:设轴承内环的锻压零件的平均高度X服从正态分布N(μ,0.42).现在从中抽取20只内环,其平均高度为32.3毫米.求内环平均高度的置信度为95%的置信区间. 解 解 经计算可得 查表得 从 而 故所求置信区间为 例: 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 解 §3.1.2　方差未知时均值的区间估计 0 a/2 a/2 -ta/2(n-1) ta/2(n-1) * X~P(λ),X~E(λ),X~N(μ,σ2) 用所获得的样本值去估计参数取值称为参数估计. 参数估计 点估计 区间估计 用某一数值作为参数的近似值 在要求的精度范围内指出参数所在的区间 参数估计的基本思想 §1.1 矩估计法 设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,根据大数定律,对任意ε0,有 并且对于任何k,只要E(Xk)存在,同样有 因此,很自然地想到用样本矩来代替总体矩,从而得到总体分布中参数的一种估计. 定义：用样本矩来代替总体矩,从而得到总体分布中参数的一种估计.这种估计方法称为矩法估计.它的思想实质是用样本的经验分布和样本矩去替换总体的分布和总体矩.今后称之为替换原则. 设总体X具有已知类型的概率函数p(x;θ1,…,θk), (θ1,…,θk)∈Θ是k个未知参数.(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本.假若X的k阶矩E(Xk)存在,则对于i≤k, E(Xi)都存在,并且是(θ1,…,θk)的函数vi (θ1,…,θk). 得到含有未知参数(θ1,…,θk)的k个方程.解这k个联立方程组就可以得到(θ1,…,θk)的一组解: 用上面的解来估计参数θi就是矩法估计. 解 总体X的期望为 从而得到方程 所以λ的矩估计量为 解 其概率密度函数为 总体X的期望为 从而得到方程 所以λ的矩估计量为 解 由于 故令 例 : 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从 解 §1.2 极大似然估计法 极大似然原理的直观想法是:一个随机试验如有若干个可能的结果A,B,C,….若在一次试验中,结果A出现, 则一般认为A出现的概率最大,也即试验条件对A出现有利.或者说在试验的很多可能条件中，认为应该是使事件A发生的概率为最大的那种条件存在. 极大似然估计的基本思想 例：假若一个盒子里有许多白球和红球,而且已知它们的数目之比是3:1,但不知是白球多还是红球多.设随机地在盒子中取一球为白球的概率是p.如果有放回地从盒子里取3个球,那么白球数目X服从二项分布 如果样本中白球数为0,则应估计p=1/4,而不估计p=3/4.因为具有X=0的样本来自p=1/4的总体的可能性比来自p=3/4的总体的可能性要大.一般当X=0,1时,应估计p=1/4;而当X=2,3时,应估计p=3/4. 令 求极大似然估计的一般步骤归纳如下： 例:设随机变量X服从泊松分布: 其中λ0是一未知参数,求λ的极大似然估计. 解 设(x1,x2,…,xn)是样本 (X1,X2,…,Xn)的一组观测值.于是似然函数 两边取对数得 从而得出λ的极大似然估计量为 解这一方程得 解 总体X服从参数为λ的指数分布，则有 所以似然函数为 取对数 令 解得λ的