09级线性代数试卷A.docVIP

中南大学考试试卷 2009——2010学年第二学期（2010.5） 时间：100分钟 《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷 专业年级：2009级 总分：100分 一、填空题（本题15分，每小题3分） 1、已知为三阶方阵，且，则 。 2、已知向量, 则向量用线性表示为 。 3、已知向量组 则 。 4、若阶方阵满足，其中为阶单位矩阵， 则必有特征值 。 5、设三阶方阵的特征值为，则与方阵相似的对角矩阵为 。 二、选择题（本题15分，每题3分） 1、设是三阶方阵，已知 则六阶行列式=（ ）。 （A） （B）4 （C） （D）16 2、下列命题中正确的是（ ） （A）在线性相关的向量组中，去掉若干向量后所得向量组仍然线性相关； （B）在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关； （C）任何个维向量必然线性相关； （D）若只有全为零时，等式 才成立，且线性无关，则线性无关。 3、已知非齐次线性方程组的3个解向量为，若是其导出组的解向量，则（ ）。 （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 4、设三阶矩阵的三个特征值为1, 1, 2, 且分别为对应的特征向量，则（ ）。 （A）必为矩阵的特征向量 ； （B） 必为矩阵的特征向量 ； （C） 必为矩阵的特征向量 ； （D）必为矩阵的特征向量，不是矩阵的特征向量 。 5、设n阶方阵与相似，则必有（ ）。 （A）与同时可逆或不可逆； （B）与有相同的特征向量； （C）和均与同一个对角矩阵相似； （D）矩阵与相等。 三、计算行列式（本题10分） ，其中。 四、（本题15分）讨论取何值时，线性方程组 无解，有惟一解或有无穷多个解？并在有无穷多个解时，写出通解。 五、证明题（本题10分） 设 是数域上的线性空间中线性无关的向量组， 任取，求证： 线性无关。 六、（本题10分）设， 三阶方阵满足， 其中为 的伴随矩阵，为单位矩阵。求矩阵。 七、（本题15分）设三阶实对称矩阵的特征值为 矩阵对应的特征向量依次为。 （1）求矩阵； （2）求； （3）判断所对应的二次型是否为正定二次型。 八、（本题10分）设为三阶实对称矩阵，二次型经正交变换得标准形 ，其中,且，试求所作的正交变换。