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中南大学考试试卷
2009——2010学年第二学期(2010.5) 时间:100分钟
《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式:闭卷
专业年级:2009级 总分:100分
一、填空题(本题15分,每小题3分)
1、已知为三阶方阵,且,则 。
2、已知向量,
则向量用线性表示为 。
3、已知向量组
则 。
4、若阶方阵满足,其中为阶单位矩阵,
则必有特征值 。
5、设三阶方阵的特征值为,则与方阵相似的对角矩阵为 。
二、选择题(本题15分,每题3分)
1、设是三阶方阵,已知 则六阶行列式=( )。
(A) (B)4 (C) (D)16
2、下列命题中正确的是( )
(A)在线性相关的向量组中,去掉若干向量后所得向量组仍然线性相关;
(B)在线性无关的向量组中,去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关;
(C)任何个维向量必然线性相关;
(D)若只有全为零时,等式
才成立,且线性无关,则线性无关。
3、已知非齐次线性方程组的3个解向量为,若是其导出组的解向量,则( )。
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
4、设三阶矩阵的三个特征值为1, 1, 2, 且分别为对应的特征向量,则( )。
(A)必为矩阵的特征向量 ;
(B) 必为矩阵的特征向量 ;
(C) 必为矩阵的特征向量 ;
(D)必为矩阵的特征向量,不是矩阵的特征向量 。
5、设n阶方阵与相似,则必有( )。
(A)与同时可逆或不可逆; (B)与有相同的特征向量;
(C)和均与同一个对角矩阵相似; (D)矩阵与相等。
三、计算行列式(本题10分)
,其中。
四、(本题15分)讨论取何值时,线性方程组
无解,有惟一解或有无穷多个解?并在有无穷多个解时,写出通解。
五、证明题(本题10分)
设 是数域上的线性空间中线性无关的向量组,
任取,求证:
线性无关。
六、(本题10分)设, 三阶方阵满足, 其中为 的伴随矩阵,为单位矩阵。求矩阵。
七、(本题15分)设三阶实对称矩阵的特征值为 矩阵对应的特征向量依次为。
(1)求矩阵;
(2)求;
(3)判断所对应的二次型是否为正定二次型。
八、(本题10分)设为三阶实对称矩阵,二次型经正交变换得标准形
,其中,且,试求所作的正交变换。
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