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中南大学考试试卷答案
2009——2010学年第二学期(2010.5) 时间:100分钟
《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式:闭卷
专业年级:2009级 总分:100分
一、填空题(本题15分,每题3分)
1、; 2、; 3、2; 4、1; 5、。
二、选择题(本题15分,每题3分)
1、D; 2、C; 3、B; 4、A; 5、A.
三、计算行列式(本题10分)
,其中。
解:按第一行展开,原式=。
四、(本题15分)讨论取何值时,线性方程组
无解,有惟一解或有无穷多个解?并在有无穷多个解时,写出通解。
解:
(1) 当时,方程组有惟一解;
(2)当时,方程组无解;
(3)当时,方程组有无穷多个解,其通解为:。
五、证明题(本题10分) 设 是数域上的线性空间中线性无关的向量组,任取,求证:
线性无关。
证明:设有,使,
而
=
=,
又因 是线性无关的向量组,
所以有 ,
即有 ,
故 线性无关。
六、(本题10分)设, 三阶方阵满足, 其中为的伴随矩阵, 为单位矩阵. 求矩阵。
解:,, 将矩阵方程化为:,,
上式左乘,右乘得:, 又,
。
七、(本题15分)设三阶实对称矩阵的特征值为 矩阵对应的特征向量依次为。
(1)求矩阵; (2)求; (3)判断所对应的二次型是否为正定二次型。
解:(1)由题设知,即
, 由于,所以;
(2)
;
(3)因为实对称矩阵的特征值不全为正,所以所对应的二次型不是正定二次型。
八、(本题10分)设为三阶实对称矩阵,二次型经正交变换得标准形
,其中,且,试求所作的正交变换。
解: 设对应的特征向量为,是正交向量组,
由得:
正交,单位化得:
所作的正交变换为: 。
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