09级线性代数试卷A答案.docVIP

中南大学考试试卷答案 2009——2010学年第二学期（2010.5） 时间：100分钟 《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷 专业年级：2009级 总分：100分 一、填空题（本题15分，每题3分） 1、； 2、； 3、2； 4、1； 5、。 二、选择题（本题15分，每题3分） 1、D； 2、C； 3、B； 4、A； 5、A. 三、计算行列式（本题10分） ，其中。 解：按第一行展开，原式=。 四、（本题15分）讨论取何值时，线性方程组 无解，有惟一解或有无穷多个解？并在有无穷多个解时，写出通解。 解： (1) 当时，方程组有惟一解； （2）当时，方程组无解； （3）当时，方程组有无穷多个解，其通解为：。 五、证明题（本题10分） 设 是数域上的线性空间中线性无关的向量组，任取，求证： 线性无关。 证明：设有，使， 而 = =， 又因 是线性无关的向量组， 所以有 ， 即有 ， 故 线性无关。 六、（本题10分）设， 三阶方阵满足， 其中为的伴随矩阵, 为单位矩阵. 求矩阵。 解：，, 将矩阵方程化为：，， 上式左乘，右乘得：， 又， 。 七、（本题15分）设三阶实对称矩阵的特征值为 矩阵对应的特征向量依次为。 （1）求矩阵； （2）求； （3）判断所对应的二次型是否为正定二次型。 解：（1）由题设知，即 ， 由于，所以； （2） ； （3）因为实对称矩阵的特征值不全为正，所以所对应的二次型不是正定二次型。 八、（本题10分）设为三阶实对称矩阵，二次型经正交变换得标准形 ，其中,且，试求所作的正交变换。 解： 设对应的特征向量为，是正交向量组， 由得： 正交，单位化得： 所作的正交变换为： 。