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离散随机变量 根据Lebesgue分解，任何随机变量的分布函数都可以写为离散分布、绝对连续分布和连 续奇异分布的凸组合形式。抛开实际价值较低的奇异分布，离散分布和绝对连续分布是概 率论重点关注的两大类分布函数，它们所描述的随机变量，其取值也分别具有离散和连续特 性。这里首先讨论较为简单的离散随机变量，连续的随机变量将在随后的章节中进行研究。 离散随机变量的概念 离散随机变量的样本空间?是离散集合，即?与自然数集合存在一一对应。假定 ? = { · · · · · · } (1-1) 考察随机变量 : ? → ， ( ) = ∈ ∈ 在?上定义概率 。由于? 的离散性， 的定义不复杂。 ({ }) = 0 ∈ 从而得到随机变量 所服从的概率 ( = ) = ({ }) = (1-2) 该概率满足 ∞ ∑ ( = ) = 1 (1-3) 由此导出 的分布函数 ()为离散分布函数 () = ∑ ( = ) = ∑ (1-4) 对于离散随机变量 ，通常认为分布函数并不是理想的研究工具（这一点和连续随机变 量有很大不同）。人们往往更加关心 取某个特定值的概率（即(1-2)）。基于此类概率，很容 易得到 落在某个集合A 内的概率为 ( ∈ A) = ∑ ( = ) (1-5) ∈ 下面我们研究一些常见的离散随机变量及其分布。这些变量作为随机模型，在实际应用 中发挥了重要作用。 分布 Bernoulli分布(Bernoulli Trial)是最简单，也是最常用的离散分布。如果 服从Bernoulli分 布，那么 ? = { } ( ) = ( ) = + = 1 0 (1-6) 且 ( ) = ( ) = (1-7) 由于 只取两个不同的值，所以也称为两点分布(Two-Point Distribution)。 Bernoulli分布描述了最基本的随机变化，即“有”还是“无”，“高”还是“低”，“涨”还 是“落”。因此，被广泛地用于刻画实际随机现象。 例 数字通信 数字通信中，待传输的信息是和。以传输的信息为单个字节为 例，由于信道会导致传输损伤，因此接收到的单字节信息有和两种可能。如果接收 到的概率为，接收到的概率为 。接收的单字节信息服从分布。 例 可靠性 电子系统中，某一器件是否失效是具有随机性的事件。设器件的状态 为随机变量，则运行一段时间后，该器件的状态有两种可能，“完好”的概率为，“失效”的 概率为 。器件的状态服从分布。 例 单周期期权定价 分布最典型的应用之一来自于金融领域的期权定价 问题 。