概率论教学资料Note5_678006605.pdfVIP

独立性 独立性是概率论中最古老、最重要、同时也是最精妙的基本概念。人们在生产实践当中 使用“独立”概念的朴素含义为自己服务已经有很长的历史。早在中世纪时期，独立就被用 于描绘重复实验之间的某种“不相关联”、“相互没有影响”的特性。但是这种从物理图景出 发的描述过于直观，缺乏严密的理论基础。第一个从比较严肃的角度提出独立这一概念的是 法国学者Abraham de Moivre （1667-1754）。他于1711年出版的“The Doctrine of Chances: a method of calculating the probabilities of events in play ”是继Cardano后概率论历史上较早的 系统性专著。其中给出了大量的原创性成果。包括著名的对正态分布的逼近方法，即某种形 式的中心极限定理（该成果直至今日仍在很多金融以及保险机构中得到应用）。独立性是de Moivre在该书中讨论的重要内容。但是，由于缺少基于测度论的公理化基础，de Moivre 的逻 辑仍显得不够严密和系统。这一点直到20世纪Kolmogorov概率公理化体系建立之后，才得以 彻底改观。 独立性 独立性是两个随机对象之间相互关联的一种刻画。这些随机对象包括事件、随机变量、- 代数等。我们先从简单的情况开始讨论。 事件的独立性 定义 1.1 (两个事件的独立性) 考虑样本空间?和其上的 代数F ，事件A B ∈ F，如 果A和B满足 (AB) = (A)(B) (1-1) 则称A和B是独立的。 直观上看，两个独立的事件“相交”部分的概率恰为其各自概率的乘积。这说明独立性 对于两个事件之间的“交互方式”进行了严格且微妙的约束。在两个事件各自的概率保持不 变的前提下，独立对应着两者间及其特殊的相交方式。相交部分的概率多一点或者少一点都 会使得独立性被破坏。 c c c c 例 1.1 如果A和B相互独立，那么A与B ，B与A ，A 与B 也相互独立。事实上， c c (AB ) = (A) ? (AB) = (A)(B ) (1-2) c c (A B) = (B) ? (AB) = (B)(A ) (1-3) c c (A B ) = 1 ? (A ∪ B) = 1 ? (A) ? (B) + (A)(B) c c = (1 ? (A))(1 ? (B)) = (A )(B ) (1-4) 人们使用独立性来表达两个事件之间“没有统计关联”（这里看并不直观，学习了条件 概率后读者会有新的体会），但这并不意味着两个事件互不相交。事实上，如果AB = ?，且A 2 和B 相互独立，那么 (AB) = (A)(B) = 0 (1-5) 即(A) = 0或者(B) = 0。也就是说，A和B 中至少有一个零概率事件。显然这并不是独立概 念的内涵。直观地讲，独立的两个事件应该不能相互提供信息，但是如果两个事件不相交， 那么它们彼此的性质间存在逻辑联系。举个例子，考虑样本点 ，假设 ∈ A，这是事件 的 性质（A包含样本点 ），但是我们由此可以导出事件B 的性质，即 ∈ B （B不包含样本点 ）。 这说明A和B之间并不独立。另一方面，某些特定条件下，事件和其自身并非不能独立。事