概率论教学资料Note10_140009102.pdfVIP

多元随机变量 前面的章节我们重点考察一元随机变量的概念和性质，现在我们开始着眼于多元随机 变量(或者说随机向量)的研究。这不仅是概率论中内容最为丰富精彩的部分，而且是和概率 论密切相关的两个学术领域――统计学和随机过程的理论基础。多元随机变量的研究将更 多的注意力放在随机变量间的相互关联上，而不仅仅关心随机变量自身的内容，这一点读者 在学习时应充分重视。 多元分布函数 1. 定义 首先，我们对一元分布函数的概念建立作简单回顾。 分布函数的重要作用之一在于简化概率的计算。对于随机变量X 而言，其概率的定义域 是集合， (B) = (X ∈ B) = (X (B)) = ({ω : X (ω) ∈ B}), B ∈ B, 而无论是样本空间? 中的σ-域，还是实数轴上的Borel域B ，其中的集合都太复杂，使得概率 难以定义。分布函数F (x)的出现克服了这一困难。它仅需处理较为简单的一类集合，半有 限区间{(?∞, x], x ∈ }，就可以达到描述概率的目的。也就是 F (x) = (X x) = (X ∈ (?∞, x]), 概率和分布函数间的一一对应确保了分布函数作为概率“代言人”的合理性和正确性。 综上，我们能够体会建立随机变量分布函数的两个关键步骤。首先，在随机变量的取 值空间上给出可测集合的定义；其次，定义分布函数，并证明其与概率之间的一一对应。 在上处理一元随机变量如此操作，在 上研究多元随机变量也不例外。第三章中已经给出 了 上Borel集合的构造，因此这里考虑 上分布函数的定义方法。 对于 上的函数F : → ，定义差分算子? : → 如下 ? (x , · · · , x ) = F (x , · · · , x , b , x , · · · , x ) ? F (x , · · · , x , a , x , · · · , x ), (1-1) 算子? 的取值和i 以及F 密切相关，角标i表示差分作用在F 的第i个变量上。因此，通常把 该算子记作? F (x , · · · , x )。? 算子可以通过复合来形成更加丰富的差分操作。 ? ? · · · ? F (x , · · · , x ), (1-2) 以二元情况为例 ? ? F (x, y) = F (a , b ) ? F (a , b ) ? F (a , b ) + F (a , b ), 差分算子? 在n元分布函数的定义中起着重要作用。 定义 n元分布函数 设函数F : → 满足如下条件， ?a b , k = 1, 2, · · · , n， ? ? · · · ? F (x , · · · , x ) 0 (1-3) F (∞, ∞, · · · , ∞) = 1。 若(x , · · · , x )→(y , · · · , y )，{y , · · · , y } 中至少有一个是?∞，则F (x , · · · , x ) → 0 。 若x ↓y , · · · , x ↓y ，则F (x , · · · , x )→F (y , · · · , y )。 则称F (x)为n元分布函数。 和一元情形类似，多元分布函数和概率之间也存在对应关系。