概率论教学资料Note11_51809186.pdfVIP

条件期望与条件分布 我们已经学习了条件概率的基本概念和性质，但只局限于讨论以事件(集合)为条件的情 形。事件作为条件，意味着先验知识的加入导致了样本空间的变化，从而影响概率计算。由 于随机变量是概率论研究的核心内容，很自然地需要将“条件”的概念和方法拓展到随机变 量中来。特别地，条件概率刻画了样本空间中不同集合在概率计算中的相互影响，容易由此 联想到“条件”在研究随机向量的各分量间相互关联以及随机过程中所具有的价值。所以， 本章引入条件期望和条件分布的概念，并讨论其性质和应用，让读者体会“条件”对于研究 随机变量间关联的重要意义，明确基本概念，掌握与之相关的基本计算方法。 条件期望 我们用一个简单例子作为引入。设离散随机变量 和 ， 取值于{1 · · · }， 取值 于{1 · · · }。考虑事件{ = }，在其条件下， 的概率分布会发生变化， ({ = } ∩ { = }) ({ = }|{ = }) = ({ = }) 通常称该概率分布为条件分布，记作 ( = = ) ( = | = ) = (1-1) ( = ) 这个概率中包含了 所提供的先验信息，并将该信息带入到了期望的计算中。 ( | = ) = ∑ ( = | = ) (1-2) =1 称该期望为条件期望。条件期望给出了在已知某些先验信息的条件下，随机变量 取值的平 均水平。 上述讨论对于离散随机变量比较准确，但是推广到连续情形会遇到本质的问题。如果 是 连续随机变量，则( = ) = 0，(1-1)没有明确的含义。如何克服这一困难呢？现代概率论 中关于条件期望的阐述为我们提供了帮助。 基本概念 首先，明确一个基本事实，条件期望是随机变量，不同于普通期望是确定性常数。事 实上，条件期望的取值取决于随机变量 ，并由此依赖于样本空间。具体地说，设概率空间 为(? F )，如果 () = ( | = ()) ∈ ? (1-3) 则有 () = =? () = ( | = ) 为方便，记 ()为 ( | )()。 其次，令 = ( | = ) B = { · · · } 1 任取A ? B()，则 ?1 (A) = ?1 (A ∩ B) = ∪{ ∈ ? : () = ∈ A} 由于 { ∈ ? : () = } = { ∈ ? : () = }