两自由度系统的振动概要.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 微分方程组的解 代入运动微分方程组可得 频率方程 解得 相应的振幅比 第一个特征根为零根 相应的振幅比为1 即 主振型 表明两圆盘以同样的转角转动，轴段相对无变形，整个系统象刚体一样绕定轴转动 扭振的实际基频为 相应的振幅比 主振型 在轴段上的一个始终不动的面，称为节面， 节面的位置正好把轴段按两圆盘转动惯量的反比例值分成两段。 两自由度系统的振动 刚体在平面内的振动 弹簧-质量系统和扭转系统等，就动力学性质而言，是属于质点作直线运动或刚体绕定轴转动的问题。 在工程实际问题中，例如具有对称平面的机器和基础的隔振系统以及车体等的振动，往往可简化为弹性支承的刚体在平面内的振动，一般具有上下移动及转动两个自由度。 选择不同的广义座标，将会得到不同形式耦合的振动微分方程。 以车体振动为例说明这一类型振动的基本性质，并由此讨论两自由度系统在一般情况下的静力耦合和动力耦合问题。 两自由度系统的振动 刚体在平面内的振动 车辆结构一般是一个复杂的空间多自由度系统。在进行研究计算时，可以根据研究的目的，结构的特点，要求计算的精确程度等等，从实际情况出发进行简化。 考虑到前后桥的质量比车体质量小得多，在计算精度要求不太高时，可以略去不计，可进一步简化成图c所示的两自由度系统：一根刚性杆（车体）支承在弹簧（悬挂弹簧和轮胎）上，作上下垂直振动和绕刚性杆质心轴的前后俯仰振动。 如略去次要的左右摇摆振动，可简化为在汽车对称平面内的振动，如图b所示。 汽车是由许多部件组成的复杂结构，即使忽略零部件的局部振动，单研究车体和前后桥的振动，把车体和前后桥作为刚体，联结和支承在弹性元件悬挂弹簧和轮胎上，如图a所示，仍然包括车体和前后桥的上下垂直振动，左右摇摆振动以及车体的前后俯仰振动等。 两自由度系统的振动 刚体在平面内的振动 设刚性杆质量为m，两端弹簧的刚度为K1与K2，杆质心c与弹簧K1 、 K2的距离为l1和l2，杆绕质心轴的转动惯量为I0。以质心垂直位移x及杆绕质心的角位移θ为两个独立座标，其正方向如图d所示。 x的座标原点取在静平衡位置，使杆重和与之相平衡的弹簧静压力都不出现在运动方程式中 在任一瞬时杆发生微小位移x与θ，两端便受到弹性恢复力的作用。 根据牛顿运动定律和转动方程式，可写出x与θ两个方向的振动微分方程式 两自由度系统的振动 刚体平面振动微分方程 或 引入符号 得到与双质量-弹簧系统同样形式的微分方程组 两自由度系统的振动 刚体平面振动主振型 系统的固有频率和主振型 振幅比是角位移θ与垂直位移x的比值 两自由度系统的振动 刚体平面振动主振动 分析K2 l2＞ K1 l1的情况 第一阶主振动时x与θ是同方向，第二阶主振动时x与θ是反方向 在实际情况中，振幅比绝对值 表明两种主振动如以相同的角位作比较，第一阶主振动的质心位移远大于第二阶主振动的质心位移，第一阶主振动以上下垂直振动为主，其主振型如图a）所示， 第二阶主振动以杆绕质心轴的俯仰振动为主，其主振型如图b）所示 两自由度系统的振动 刚体平面振动主振动 如果 中耦合项均为零，简化为 相当于两个单自由度系统各自独立地作不同固有频率的主振动 两自由度系统的振动 静力耦合和动力耦合 一般情况下两自由度系统振动微分方程组为 方程组 中座标之间有耦合的情况称为 静力耦合或弹性耦合 两自由度系统的振动 静力耦合和动力耦合 以弹簧支承处的位移x1与x2为独立座标建立振动微分方程 x1与x2同x与θ之间有如下关系 转换后得 代入 可得 两自由度系统的振动 静力耦合和动力耦合 该方程组中不仅座标有耦合，而且包含加速度的项也有耦合 这种加速度之间有耦合的情况，称为动力耦合或惯性耦合 如果选取的座标恰好可使微分方程组的耦合项全等于零，既无静力耦合，又无动力耦合，就相当于两个单自由度系统，这时的座标就称为主座标 两自由度系统的振动 主坐标：能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标 在特殊情况下，由于结构上的安排，可以找到明显的主座标 ρc为汽车的回转半径 第一式乘以 ，分别与第二式乘以l1相加 以及与第二式乘以l2相减 两自由度系统的振动 主坐标 在汽车设计中希望一个轮子在行车时受到跳动不传动另一个轮子上去，可使车体质量分布和前后轮的位置之间满足条件： 上面方程组中将无耦合项，成为 这时弹簧支承处的位移x1和x2便是主座标 两个独立的主振动的固有频率为 两自由度系统的振动 主坐标 时，弹簧支承处的位移x1和x2就是主座标 两个独立的主振动的固有频率为 这两个频率称为偏频，是汽