中学数学解题经典研究概要.ppt

变式1：设F为椭圆 的一个焦点，经过F的直线交椭圆于A、B两点，点M在F相应的准线L上，则直线AM经过椭圆焦点轴上的顶点C的充要条件是直线BM经过椭圆焦点轴的另一个顶点D。 变式2：设F为 的一个焦点，经过F的直线交双曲线于A、B两点，点M在F相应的准线L上，则直线AM经过双曲线焦点轴上的顶点C的充要条件是直线BM经过双曲线焦点轴的另一个顶点D。 * * * * * * * * * * * * * * * 现代数学教育由重知识、重技能，向重知识、重技能，更重方法的方向发展。 * 中国乃至世界著名数学教育家、数学方法论专家，两次被美国西点军校邀请讲学。 1990年5月，徐利治带着他刚完成的《关系映射反演法》（1989年5月出版）到桂林讲学，我和曾所有幸成为他的学生，聆听他的讲课。 徐利治是我国最早对数学方法论进行系统研究的数学家，曾是第一个把数学方法论引入到师范学校课堂上的专家，我是第一个把对数学方法论的学习研究与小学数学教育密切相联系的老师。 * RMI方法是现代数学研究中的一种重要的化归方法。由于它具有更高的抽象性，所以，它具有更重要和更广泛的应用。 解之，得a=b=4,这与已知0ab矛盾，应舍去. （3）当0ab2时，如图3所示，函数f(x)在［a,b］ 上递减， ∴f（a）=b，f（b）=a， 图3 解之，得 这与0ab矛盾，应舍去. 综上可知,a=1,b=4. 探究拓展 对称轴与目标区间的相对位置关系影 响函数最值的获取，本例是典型的“定轴，动区 间”类问题，要围绕目标区间是否覆盖定轴作讨 论.另一类与之相对应的问题是“定区间动轴”问 题。 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为 叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨 论分别叙述. 例.设A点的坐标为(a,0），a∈R，求曲 线y2=2x上的点到点A距离的最小值d. 分析 本题是求两点间距离的最小值问题，代入 距离公式、转化为求二次函数的最值问题.注意抛 物线上的点（x,y）应满足x≥0. 解 设M（x,y）为曲线y2=2x上一点 （2）当a1时，二次函数f(x)在区间［0，+∞）上 单调递增， ∴当x=0时取最小值, 由于x≥0，二次函数f(x)=［x-(a-1)］2+2a-1的顶 点的横坐标为x=a-1,由此作如下讨论： (1)当a≥1时，当x=a-1时，|MA|min= 规律方法总结1.分类讨论是“化整为零”——“各个击破”—— “积零为整”的数学方法，其原则是： （1）分类标准统一、对象确定. （2）所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分. （3）分层讨论，不能越级讨论.有时，还要对讨论 的结果综合起来概述. 2.需要分类讨论的知识点大致有： 绝对值的概念；根式的性质；一元二次方程的判 别式符号与根的情况；二次函数二次项系数的正 负与抛物线开口方向；反比例函数 (k≠0)的 比例系数k,正比例函数y=kx的比例系数k，一次函 数y=kx+b (k≠0)的斜率k与图象位置及函数的单调性的关系；幂函数y=xn的幂指数n的正、负与定义 域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y=ax (a0 且a≠1)、对数函数y=logax (a0,a≠1)中底数a的 范围对单调性的影响；等比数列前n项和公式中公 比q的范围对求和公式的影响；复数概念的分类； 不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号 方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥 曲线离心率e的取值与三种曲线的对应关系；运用 点斜式，斜截式直线方程时斜率k是否存在；角的 终边所在象限与三角函数符号的对应关系，等等. 3.分类讨论产生的时机： （1）涉及的数学概念是分类定义的. （2）运算公式、法则、性质是分类给出的. （3）参数的不同取值会导致不同的结果. （4）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的 结果. （5）所给题设中限制条件与研究对象不同的性质 引发不同的结论. （6）复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便 于解决. （7）实际问题的实际意义决定要分类讨论. ?　　避免分类讨论的有关策略 (一) 用等比定理推导 当 q = 1 时 Sn =