模块1 材料力学.ppt

1.2惯性矩、极惯性矩、惯性积 1.2.4.组合图形的几何参数 1.3平行移轴公式 【例1.4】试计算下图T形对形心轴、的惯性矩。 1.4形心主惯性轴、形心主惯性矩 1.4.2形心主惯性轴和形心主惯性矩 材料力学 模块一 平面图形的几何性质 【模块概述】 计算杆件在外力作用下的应力和变形时，需要用到与杆的横截面形状、尺寸有关的几何量， 例如在轴向拉伸或压缩问题中，需要用到杆的横截面面积A；圆杆扭转问题中，需要用到横截面的极惯性矩和扭转截面系数；在弯曲问题和组合变形问题中，还要用到面积矩和惯性矩等。所有这些与杆的横截面(即平面图形)的形状和尺寸有关的量称为平面图形的几何性质。本将章介绍平面图形的各种几何性质的计算方法。 【学习目标】 能力目标： 知识目标: 1.培养学生勤于思考、善于钻研实际工程中如何增加刚度的能力。 2.培养学生分析和解决实际有关刚度问题的能力。 1.掌握面积矩及惯性矩的概念。 2.熟悉惯性积及极惯性矩的概念。 3.会进行各种面积矩、惯性矩的计算。 4.掌握平行移轴公式的使用。 5.了解组合图形的几何参数、形心主惯性轴、形心主惯性矩、形心主惯性平面。 【学习重点 】 面积矩和惯性矩的概念 面积矩和惯性矩的计算 平行移轴公式的应用 1.1.1重心和形心 1.1.1.1重心 一般物体重心的坐标 1.1平面图形的形心位置和面积矩 均质物体重心的坐标 1.1.1.2形心 三维物体的形心为 ， ， 二维物体的形心 , （1.1） 1.1.2面积矩 , 面积矩和的大小不仅和平面图形的面积 A 有关，还与平面图形的形状以及坐标轴的位置有关,，即同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的面积矩，面积矩可正可负，也可为零。其量纲为 L3，常用单位为 m3 或 mm3。 （1.2） （1.1）式可改写为 、 或 、 （1.3） 上式表明，平面图形对轴（或轴）的面积矩，等于图形的面积乘以形心的坐标（或）。若面积矩，则；，则。所以，若图形对某一轴的面积矩等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之，若某一轴通过图形的形心，则图形对该轴的面积矩必等于零。 【例1.1】 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的 轴的静矩。 解：取平行于 轴的狭长条(见图)作为面积元素， 即 由相似三角形关系，可知 因此有 。 将其代入式（1.2）的第一式，即得 1.2.1惯性矩 ， （1.4） 。 惯性矩的数值恒为正值，其单位为 或 1.2.2.极惯性矩 （1.5） 极惯性矩的数值恒为正值，其单位为 或 。 由图1.1可见， 故有 即任意截面对一点的极惯性矩的数值，等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。 1.2.3.惯性积 （1.6） 从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩或惯性积 一般是不同的，惯性矩数值恒为正值，而惯性积则可能为正值 或负值，也可能等于零。 惯性半径 ， （1.7） 【例1.2】试计算下图所示矩形截面对于其对称轴(即形心轴) 的惯性矩。 解：取平行于 轴的狭长条作为面积元素， 即 根据式(1.6)的第二式，可得 同理， 表1.1 简单截面的几何性质 组合截面对某一轴的面积矩等于各简单几何图形对该轴 面积矩的代数和，即 （1.8） 组合截面形心坐标的计算公式为 （1.9） 组合截面对于某坐标轴的惯性矩(或惯性积) （1.10） 【例1.3】 求右图平面图形的形心位置。 解 取参考坐标系 Oyz，其中 y 轴为 对称轴，该图形由三个矩形组成， 各矩形的面积及形心坐标分别为 将以上数据代入（1.9）式，得 (1.11) (1.11) (1.11) （1.11） 解：（1）确定形心位置C的坐标。 因为 轴是对称轴，所以 ，确定 将图形分为两个矩形 、 其各自形心坐标为： （2）计算惯性矩 ，由于Z轴不通过矩形 、 的形心，故要利用平行移轴公式计算： 由题意得知 所以 （3）计算惯性矩 。 1.4.1惯性矩和惯性积的转轴公式 由右图可见，截面上任 一面积元素 老两坐标系内的坐标 和 间的关系为 在新、 代入（1.3）式中的第二式，得 （a） 根据惯性矩和惯性积的定义，上式右端的各项积分分别为 ， ， 将其代入式（a）并改用二倍角函数的关系，即得 （1.12a） 同理 （1.12b） （1.12c） 将式（1.12a）和（1.12b）相加，可得 上式表明，截面对于通过同