插值、拟合概要.ppt

即要求出二次多项式: 中 的 使得: 例 对下面一组数据作二次多项式拟合 1）输入以下命令： x=0:0.1:1; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; R=[(x.^2) x ones(11,1)]； A=R\y 解法1．用解超定方程的方法 2）计算结果： Ａ = -9.8108 20.1293 -0.0317 1）输入以下命令： x=0:0.1:1; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,k+,x,z,r) %作出数据点和拟合曲线的图形 2）计算结果： Ａ = -9.8108 20.1293 -0.0317 解法2．用多项式拟合的命令 建模案例：黄河小浪底调水调沙问题 2004年6月至7月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。整个试验期为20多天，小浪底从6月19日开始预泄放水，至到7月13日恢复正常供水结束。小浪底水利工程按设计拦沙量为75.5亿立方米，在这之前，小浪底共积泥沙达14.15亿吨。 建模案例：黄河小浪底调水调沙问题 这次调水调沙试验一个重要的目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库开闸泄洪以后，从6月27日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后到达小浪底，7月3日达到最大流量2700 ，使小浪底水库的排沙量也不断地增加。表7-1是由小浪底观测站从6月29日到7月10日检测到的试验数据。 1. 模型假设 1) 水流量和排沙量都是连续的，不考虑上游泄洪所带来的含沙量和外界带来的含沙量。 2) 时间是连续变化的，所取时间点依次为1,2,3，…,24,单位时间为12h。 2. 模型建立与求解 问题一：给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法 根据试验数据，要计算任意时刻的排沙量，就要确定出排沙量随时间变化的规律，可以通过插值来实现，考虑到实际中排沙量应该是时间的连续函数，为了提高精度，我们采用三次样条函数来进行插值。 1）建立模型 模型求解 计算结果 问题二：确定排沙量与水流量的变化关系。 散点图 误差计算方法 第一阶段多项式拟合 第二阶段多项式拟合 插值、拟合问题 例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。 拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值 一、插值的定义 二、插值的方法 三、用Matlab解插值问题 一维插值 一维插值的定义 已知 n+1个节点 其中 互不相同，不妨设 求任一插值点 处的插值 ? ? ? ? ? ? 构造一个(相对简单的)函数 通过全部节点, 即 再用 计算插值，即 ? ? ? ? ? ? 称为拉格朗日插值基函数。 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下: 其中Li(x) 为n次多项式： 拉格朗日(Lagrange)插值 拉格朗日(Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: 三点二次(抛物)插值多项式: For example x 1 4 9 16 1 2 3 4 取最接近x=5的点， x0=1， x1=4，x2=9为插值节点，运用插值公式L(5)=2.27. For example x 75 76 77 78 2.76 2.83 2.90 2.97 取最接近x=5的点， x0=1， x1=4，x2=9为插值节点，运用插值公式L(5)=2.27. 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形。 例 分段线性插值 计算量与n无关; n越大，误差越小. ? ? ? ? ? ? xj xj-1 xj+1 x0 xn x o y ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y 机翼下轮廓线 例 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。