教师专业标准与小学数学教学(史宁中)概要.ppt

在汉朝的时候，有一个人做了三次牲畜买卖，收支情况如下： 第一次 卖牛收入24钱，卖羊收入25钱，买猪支出39钱，合计收入10钱； 第二次 卖牛收入36钱，买羊支出45钱，卖猪收入90钱，合计收支相当； 第三次 买牛支出60钱，卖羊收入30钱，卖猪收入24钱，合计支出6钱。 如何用数学的方法表达？ 文字形式 牛 羊 猪 合计 第一次 收入24 收入25 支出39 收入10 第二次 收入36 支出45 收入90 0 第三次 支出60 收入30 收入24 支出6 数字形式 牛 羊 猪 合计 第一次 24 25 -39 10 第二次 36 -45 90 0 第三次 -60 30 24 -6 负数与自然数：数量相等、意义相反。 自然数集合 （减法：加法的逆运算） 整数集合 （除法：乘法的逆运算） 有理数集合 分数（部分与整体；线段长度之比） 无理数集合 不能写成分数形式的数 实数集合 有理数 + 无理数 需要解释实数的连续性、需要无理数的运算 √2 +√3 = ？ √2 ×√3 = ？ 18 世纪才形成现在的小数表达形式。 演绎推理需要前提：公理或者假设。 小学数学演绎推理的前提 命题1 等式（不等式）关系具有传递性。 a = b (a ﹥ b），b = c (a ﹥ b） → a = c (a ﹥ c） 命题2 等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变。 a = b (a ﹥ b） → a + c = b + c (a + c ﹥ b + c） a - c = b - c (a - c ﹥ b - c） 加上一个正数比原来的数大。 对于任意的数 a 和正数 b，必然有 a + b ＞ a。 证明：因为 b 为正数，所以 b ＞ 0 不等式两边分别加上 a，由命题 2 可以得到 a + b ＞ a 所以结论成立。 利用类似的方法可以证明对称命题： 加上一个负数比原来的数小。 减去一个正数等于加上这个正数的相反数。 → 减去一个正数比原来的数小。 用数学符号表示这个命题： a - b = a + (-b) 其中b ＞ 0。因为“减法是加法逆运算”： a - b = x ←→ a = b + x 由命题2，在右边等式的两边分别加上（-b）等式不变： a + (-b) = b + (-b) + x。 根据相反数的定义：a + (-b) = x。由命题 1： a - b = x = a + (-b) 减去一个负数等于加上这个负数的相反数。 → 减去一个负数等于加上一个正数。 → 减去一个负数比原来的数大。 用数学符号表示这个命题 a - (-b) = a + b 令 x = a + b。等式分别两边加上b的相反数（-b），由命题2 x + (-b) = a + b + (-b) = a 上面等式的两边同时减去(-b)，再由命题2： x + (-b) – (-b) = a – (-b) 因为同样的数相减为 0：x = a – (-b)。由命题1： a - (-b) = a + b 探索规律：只有偶数的平方才能为偶数。 研究对象符号化：偶数 → 2a；奇数 → 2a+1 研究目标包含两个结论：提出问题 1.偶数的平方为偶数（有）；问：偶数×偶数 = ？ 2.奇数的平方为奇数（只有）；问：奇数×奇数 = ？ 研究方法用归纳的方法： 对应1：2×2 = 4，4×4 = 8，12×12 = 144 对应2：3×3 = 9，5×5 = 25，11×11 = 121 猜想一般结论 2a