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人教版高中数学选修1-2直接证明与间接证明课件10讲述
2.2.2 反证法 * * 一.反证法 证明命题“设p为正整数,如果p2是偶数, 则p也是偶数”,我们可以不去直接证明p是偶数,而是否定p是偶数,然后得到矛盾,从而肯定p是偶数。具体证明步骤如下: 假设p不是偶数,可令p=2k+1,k为整数。 可得 p2=4k2+4k+1,此式表明,p2是奇数,这与假设矛盾,因此假设p不是偶数不成立,从而证明p为偶数。 一般地,由证明p?q转向证明: t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定 为假,推出q为真的方法,叫做反证法。 例1.证明 不是有理数。 证明:假定 是有理数,则可设 ,其中p,q为互质的正整数, 把 两边平方得到,2q2=p2, ① ①式表明p2是偶数,所以p也是偶数,于是令p=2l,l是正整数,代入①式, 得q2=2l2, ② ②式表明q2是偶数,所以q也是偶数,这样p,q都有公因数2,这与p,q互质矛盾, 因此 是有理数不成立,于是 是无理数. 例2.证明质数有无穷多个。 证明:假定质数只有有限多个,设全体质数为p1,p2,p3,……,pn, 令p= p1p2p3……pn+1,显然p不含因数p1,p2,p3,…,pn,p要么是质数,要么含有除p1,p2,p3,…,pn之外的质因数。 因此质数只有有限多个不成立,于是质数有无穷多个。 从上述两例看出,反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性。 二.反证法的主要步骤 (1) 反设: ????反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。 (2) 归谬: 归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。 (3) 结论:由前两步,得到正确的结论,一点要在前面的基础上肯定结论的真实性。 例3.证明1, ,2不能为同一等差数列的三项。 证明:假设1, ,2是某一等差数列中的三项,设这一等差数列的公差为d,则 1= -md,2= -nd,其中m,n为某两个正整数, 由上两式中消去d,得到n+2m=(n+m) ,因为n+2m为有理数,(m+n) 为无理数, 所以n+2m≠(n+m),因此假设不成立,1, ,2不能为同一等差数列中的三项. 例4.平面上有四个点,没有三点共线,证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形。 证明:假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形,记这四个点为A,B,C,D, 考虑△ABC,点D在△ABC之内或之外两种情况。 (1)如果点D在△ABC之内,根据假设,围绕点D的三个角都是锐角,其和小于270°,这与一个周角等于360°矛盾; (2)如果点D在△ABC之外,根据假设四边形ABCD的四个内角分别是某锐角三角形的内角, 即∠A,∠B,∠C,∠D都小于90°,这和四边形内角和等于360°矛盾, 综上所述,原题的结论正确。 *
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