数值分析6.3 复化求积公式、龙贝格求积公式概要.ppt

6.4.2 龙贝格算法 梯形法计算简单但收敛慢，如何提高收敛速度以节省计算量是本节要讨论的中心问题. 根据复化梯形公式的余项式表达式可知 设f (x)在[a, b]上变化不太大 f ? (η1) ≈f ? (η2), 则得 由此可见，如果二分前后的两个积分值Tn与T2n相当接近，就可以保证计算结果T2n的误差很小. 这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的事后估计法. 由 可知积分近似值T2n的误差大致等于 ，因此如果用这个误差值作为T2n的一种补偿，可以期望，所得到的 可能有更好的结果. 可以直接验证 就是复化辛普森积分公式. Sn的精度为O(h4). 这就是说，用复化梯形方法二分前后的两个积分值Tn与T2n ，按上式做线性组合，结果得到了复化辛普森积分公式. 则 同理由辛普森方法，用二分前后的两个积分值Sn与S2n，由误差公式即有 可以直接验证这就是复化柯特斯积分公式. Cn的精度为O(h6). 则 同理由柯特斯方法，用二分前后的两个积分值Cn与C2n，由误差公式即有 这就是复化龙贝格积分公式. Rn的精度为O(h8). 一般我们将这种龙贝格算法做成表格 我们在变步长的过程中运用了三个公式，就能将粗糙的梯形值Tn 逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值 Cn和龙贝格值 Rn. T1 T2 S1 T4 S2 C1 T8 S4 C2 R1 T16 S8 C4 R2 ﹕ ﹕ ﹕ ﹕ 上页 下页 6.3 复化求积公式 从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也越高.另一方面，插值节点的增多(n的增大)，在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8时, 牛顿-柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿-柯特斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高求积精度. 为了提高精度，通常在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或抛物形公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想. 我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复化求积公式. 将积分区间[a, b]n等分, 步长 xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知 , 分点为 每个子区间上的积分 用低阶求积公式, 然后把所有区间的计算结果求和,就得到整个区间上积分 I 的近似值。 复化求积的基本想法: 6.3.1 复化梯形公式 每个子区间[xk, xk+1]上的积分用梯形公式, 得 将积分区间[a, b]划分为 n 等分, 则 若 f(x)?C2[a,b], 其求积余项Rn(f )为(p239) 称为复化梯形公式. 记 当n→∞时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函数的积分，所以复化梯形公式收敛. 此外，Tn 的求积系数均为正，由定理2知复化梯形公式是稳定的. 可以看出误差是 h2 阶，且由误差公式得到，当f(x)?C2[a, b] 时，则有 即复化梯形公式是收敛的. 事实上只要 f(x)?C[a, b], 则可得到收敛，因为只要把Tn改写为 6.3.2 复化辛普森公式 将积分区间[a, b] 划分为2n等分, 即将每一个区间 [xk, xk+1]经过二等分增加了一个分点 在每个子区间[xk, xk+1]上的积分用辛普森公式, 得 称为复化辛普森公式. 记 若 f(x)?C 4[a,b], 其求积余项为 6.3.2 复化辛普森公式 每个子区间[x2k, x2k+2]上的积分用辛普森公式, 得 将积分区间[a, b] 划分为2n等分, 则 称为复化辛普森公式. 记 若 f(x)?C 4[a,b], 其求积余项为 例1 对于函数 f(x)=sinx/x，给出n=8的函数表，试用复化梯形公式和复化辛普森公式 计算积分 x f(x) 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 1 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709 解 将积分区间[0,1]划分为8等分，用复化梯形公式求得 而将积分区间[0, 1]划分为2×4等分，用复化辛普森公式