数值分析与计算方法 第四章 常微分方程数值解法概要.ppt

* 本章内容 §4.1 数值解法的思想和途径 §4.2 龙格-库塔法 §4.3 单步法的收敛性和稳定性 §4.4 线性多步法 §4.5 一阶常微分方程与高阶方程的数值解法 §4.6 边值问题的差分解法 第四章 常微分方程数值解法 一.初值问题 在科学技术中,常常需要求解常微分方程的初值问题. (4.1) 大多数工程技术中所遇到的常微分方程不能用标准的解析方法求解——给出解析解，有必要研究数值方法求近似解； 只要 f (x, y) 在[a, b] ? R 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L0 使 对任意定义在R 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述 初值问题 ( Initial-Value Problem )存在唯一解。 §4.1 数值解法的基本思想和途径 要计算出解函数 y(x) 在一系列离散点 a = x0 x1… xn= b 处的近似值 节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。 数值解法 称这一转化过程为离散化过程，求解初值问题(4.1) 有个特点：“步进式”计算（递推）。 实施数值解法手段：初值问题式（4.1） 差分方程 二.离散化方法 1°差商方法--用差商代替导数 向前差商近似导数 y0=y(x0) 称为欧拉公式;欧拉折线法 x0 x1 向后差商近似导数 )) ( , ( ) ( 1 1 0 1 x y x f h y x y + ? ) 1 , ... , 0 ( ) , ( 1 1 1 - = + = + + + n i y x f h y y i i i i 由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 欧拉公式，而前者称为显式 欧拉公式。 x0 x1 称为后退欧拉公式 中心差商近似导数 用此公式计算 yi+1 时要用到前两步的信息 yi-1 , yi ，故称为欧拉两步法（公式）或中心欧拉公式。 x0 x2 x1 2°积分方法 对 在区间[x, x+h]上积分得： 特别地，当x=xn时，有 再用yn代替y(xn)，便有欧拉公式. 据矩形公式 需要2个初值 y0和 y1来启动递推 过程，这样的算法称为双步法 ， 而前面的二种算法都是单步法 。 3°泰勒展开法 假定函数y(x)足够光滑，则将y(x)在点xk Taylor展开 右端只保留h的线性项又可得Euler公式 局部截断误差 再用yn代替y(xn)，便有梯形公式: 据梯形公式 同理，梯形公式的局部截断误差为 三.几个基本概念 　　　为了计算点xk+1上的数值解yk+1只要知道前面一点xk的数值解yk就可以了，称为单步法，要用到前面多点的数值解，称为多步法。 定义 定义 　　　如果所求的数值解yk+1可以用yk, xk解析表出，就称为显格式(例如, Euler公式)，反之，称为隐格式(例如,后退欧拉公式何梯形公式 )。 预报-校正公式。例如先用Euler公式校正预报得 然后用梯形公式校正，即 已将隐格式转化为显格式了.称为改进Euler公式 定义 　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度，或称该方法为P阶的。。 ? 欧拉法的局部截断误差： 欧拉法具有 1 阶精度。 Ri 的主项 ? 后退欧拉法的局部截断误差： 即后退欧拉公式具有 1 阶精度。 ? 中心欧拉公式局部截断误差： 假设 ，则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。 定义 　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) ? yi+1 称为局部截断误差。 y O P3 P2 P1 P0 Euler公式的几何意义 x hf(x0,y0) Y 就是 在 的切线上的一个点 的纵坐标值. , 以此类推 例4.1 一.Runge-Kutta法的基本思想 数值计算结果亦表明用二阶的梯形公式校正后精度确实要比一阶的Euler公式要高,那么能否对更多点f (x,y)的值进行组合从而产生更高阶的方法呢？ 考察如下差分格式 §4.2 龙格-库塔法 首先希望能确定系数 ，使得到的算法格式有2阶精度，即在