数值分析特征值和Jacobi方法概要.ppt

9.4.1 相似约化为实对称三对角矩阵 将一个实对称矩阵正交相似约化为一个实对称三对角矩阵的算法，可归纳如下： 记A(1)=A,对k=1,2,…,n-2 ①按(4)式、(5)式和(8)式计算 ； ②按(9)～(12)式，计算A(k+1). 9.4.2 Sturm序列的性质 设实对称三对角矩阵为 其中βi≠0 (i=1,2,…，n-1) 其特征矩阵为T-λI. 记T-λI的第i阶主子式为 这是关于λ的i次多项式，当i=n时， pn(λ)=｜T-λI｜是矩阵T的特征多项式. 令p0(λ)≡1，则有p1(λ)=α1-λ，pi(λ)=(αi-λ)pi-1(λ)-β2i-1pi-2(λ)，i=2,3，…，n.(15) 多项式序列｛pi(λ)｝ (i=0,1,…，n)称为Sturm序列 定理9.4.1｛pi(λ)｝ (i=1,2,…，n)的根都是 实根. 证 由(14)式，pi(λ)是i阶实对称矩阵的特征多项式，因此，｛pi(λ)｝ (i=1,2,…，n)的根全是实根. 定理9.4.2 定理9.4.2 设α是pi(λ)的一个根，那么 ①pi-1(α)pi+1(α)≠0，即相邻的两个多项式无公共根； ②pi-1(α)pi+1(α)0，即pi-1(α)与pi+1( α)反号. 定理9.4.4 pi(λ)的根都是单根，并且将pi+1(λ)的根严格隔离. 9.4.3 同号数和它的应用 定义1 设p0(λ)≡1，｛pi(λ)｝(i=1,2,…，n) 是一个Sturm序列，称相邻的两个数中符号一致的数目为同号数，记为ai(λ). 若某个pi(λ)=0，规定与pi-1(λ)反号. 定理9.4.5 设两个实数xy，那么，形如(13)式的实对称 三对角矩阵T的特征多项式在区间(x,y］上根的数目为a(x)-a(y). 9.4.4 求Hermite矩阵特征值的对分法 对分法的计算可归纳为以下4个部分 ①确定(13)式的矩阵T的全部特征值的分布区间. ②在区间［a,b］中，用区间对分的方法找出只含T的一个特征值的子区间. ③在只含一个特征值的子区间上的对分法. ④同号数的计算. 9.5 乘幂法 设A是n阶矩阵，其n个特征值按模从大到小排序为 又假设关于λ1，λ2，…，λn的特征向量v1，v2，…，vn线性无关. 乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征值及 相应特征向量的算法. xk→λk1a1v1 (k→∞). 因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量. 迭代格式为 按模最大特征值λ1及其相应的特征向量v1的乘幂法的计算公式： 9.5.2 收缩方法 设矩阵A的n个特征值按模从大到小排序为 ，其相应的n个线性无关特征向量为v1，v 2，…，vn. 在计算A的最大特征值λ1及相应特征向量v1后，可以通过收缩方法，继续用乘幂法计算λ2及其相应的特征向量v2. 定义n阶矩阵 把去掉A1的第1行和第1列的n-1阶矩阵记为 那么，B有与A1除λ1外的相同的n-1个特征值 ｜λ2｜｜λ3｜≥…≥｜λn｜，可以用乘幂法计算λ2及其相应的 特征向量. 在计算λ1和v１后，按(15)式形成n-1阶矩阵B的计算过程称为收缩方法. 9.6 反幂法 反幂法可以求一个非奇异矩阵A的逆矩阵A-1的按模最小的特征值及相应的特征向量，又可以求A的一个近似特征值相应的特征向量. 9.6.1 求按模最小特征值及相应特征向量的反幂法,又称为反迭代法. 9.6.2 求近似特征值的特征向量的反幂法 先对矩阵 进行LU分解，记 那么， (7) 下面介绍一种选取特殊的初始向量x0的反幂法——半迭代法. 假设 ,选取初始向量x0满足‖x0‖∞=1，这时z0=x0.对照(7)式中的第二个式子.可把z0看成满足Le=z0.(8) 这里，e=(1,1，…，1)T，而z0的各个分量的取值多少是无关重要的.这样，在第一个迭代步的计算中，只需求解(7)式中的上三角方程组Ux1=e. “半迭代法”的命名也由此而得. 9.7 QR方法 定理9.7.1设A是n阶矩阵，其n个 特征值