数值积分课件 (《计算方法》)概要.ppt

21 第7章 数值积分 §1 插值型求积公式 §2 复化求积公式 §3 龙贝格(Romberg)求积方法  §1 插值型求积公式 在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x)在区间［a, b]上连续且其原函数为F(x) ,则可用牛顿―莱布尼兹公式 公式(7―1)虽然在理论上或在解决实际问题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情况: (1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简单的函数,例如 (2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关系由表格或图形表示,无法求出原函数。 如图7.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左矩形公式? 如图7.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面积,则得到计算定积分的梯形公式 此外,众所周知的梯形公式: I(f)≈(b-a)[f(a)+f(b)]/2 和 Simpson公式: I(f)≈(b-a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6 则分别可以看作用 a, b, c=(a+b)/2, 三点 高度的加权平均值 [f(a)+f(b)]/2 和 [f(a)+4f(c)+f(b)]/6 作为平均高度f(ξ)的近似值. 更一般地,取区间[a,b]内n+1个点 {xi},(i=0,1, 2,…n) 处的高度{f(xi)} (i=0,1,…,n)通过加权平均的方法近似地得出平均高度f(ξ),这类求积方法称为机械求积: 或写成: 记 求积公式的代数精度 定义1 称求积公式(2)具有m次代数精度,如果它满 足如下两个条件: (i)对所有次数≤ m次的多项式 ,有 (ii)存在m+1次多项式 ,使得 插值型求积公式 在积分区间[a,b] 上取n+1个节点xi，i=0,1, 2,…,n,作f(x)的n次代数插值多项式（拉格朗 日插值公式）: 则有 为插值余项 于是有 取 称(4)式为插值型求积公式,其中求积系数Ak由(5) 式确定. 推论1 求积系数满足: 1.1 牛顿―柯特斯公式 (Newton―Cotes) 利用拉格朗日插值多项式 这里yi=f(xi),对式(7―6)两边积分得 称Ci(n)为柯特斯求积系数。很显然,当n=1时,可算得 当n=2时,可得 定理 当阶数n为偶数时, Newton-Cotes 公式(8)至少具有n+1次代数精度. Newton-Cotes公式的数值稳定性 现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响.设 用公式 近似计算积分 时,其中计算函数值f(xj)有误差εj (j=0,1,2,…,n).设 计算Cj(n)没有误差,中间计算过程中的舍入误差也 不考虑,则在式(10 )的计算中,由εj引起的误差为 1.2 误差估计 现对牛顿―柯特斯求积公式所产生的误差作一个分析。由式(7―9),牛顿―柯特斯求积公式的余项为 §2 复合求积公式 2.1 复合梯形公式 对于定积分(7―1),将积分区间［a, b］分成n个相等的子区间［xi,x i+1］,这里步长 相加后得 因而 2.2 复合抛物线公式 类似复合梯形公式的做法,把区间［a,b］分成n个相等的子区间［x2i,x2i+2］(i=0,1,…,n-1),设每个子区间上的中点为x2i+1(i=0,1,…,n-1),且 相加后得 若f(4)(x)在［a, b］上连续,则 解 用复合梯形公式,这里 用复合抛物线公式可得 2.3 变步长公式 前面介绍的复合梯形公式和复合抛物线公式的步长都是预先确定的。它的主要缺点是事先很难估计出n的大小(或步长h的大小),使结果达到预先给定的精度。在实际计算中,我们常常借助于计算机来完成积分步长h的自动选择,即采用变步长求积公式。具体地讲,就是将步长逐次折半,反复利用复合求积公式,直到满足精度要求为止。 下面介绍变步长复合抛物线公式(变步长复合梯形公式留给读者作为练习)。 作步长,按复合抛物线公式计算出积分的近似值S2m。对于相邻两次的积分近似值Sm、S2m,考察 §3 龙贝格(Romberg)积分方法 我们已经知道,当被