数值分析复习及习题选讲概要.ppt

其中, xj=x0+jh，j=0,1,2。 ?(x)= [(x-x1)(x-x2)?(x0)-2(x-x0)(x-x2)?(x1)+(x-x0)(x-x1)?(x2)]/2h2 ? ?(x0)=[-3?(x0)+4?(x1)-?(x2)]/2h+R2?(x0) 证明 (1)以x0,x1,x2为节点的二次Lagrange插值为: +? ???(?x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6 ? ?(x)=[(2x-x1-x2)?(x0)-2(2x-x0-x2)?(x1)+(2x-x0-x1)?(x2)]/2h2+R2?(x) ? ?(x0)=[-3?(x0)+4?(x1)-?(x2)]/2h+h2 ? ??? (?)/3 7.证明下列数值微分公式： 1.用列主元Gauss消元法解方程组 解 第5章 回代得解: x3=1, x2=-1, x1=0 2.对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中 解 ，所以 3.对矩阵A进行Crout分解，其中 解 4.对矩阵A进行LDLT分解和LLT分解，并求解方程组Ax=b，其中 解 5.给定方程组 1).用Cramer法则求其精确解. 2).用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算). 解 1).x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899 2).用Gauss消元法 回代得解: y=1, x=0. 6.用追赶法求解方程组: 再用列主元Gauss消元法 回代得解: y=1, x=1. 解 7.证明下列不等式: (1)??x-y?????x-z??+??z-y??; (2)|??x??-??y??|???x-y??; 证明 (1)??x-y??=??(x-z)+(z-y)?????x-z??+??z-y?? (2) 因为 ??x??=??(x-y)+y?????x-y??+??y?? 所以 ??x??-??y?????x-y?? ,同理可证 ??y??-??x?????x-y?? 于是有 |??x??-??y??|???x-y?? . 8.设?????为一向量范数,P为非奇异矩阵,定义??x??p= ??Px??, 证明??x??p 也是一种向量范数. 证明 (1)??x??p=??Px???0, 而且??Px??=0?Px=0?x=0 (3)??x+y??p=??P(x+y)??=??Px+Py?????Px??+??Py??=??x??p+??y??p (2)???x??p=??P(?x)??=???Px??=|?|??Px??=|?|??x??p 所以??x??p是一种向量范数. 9.设A为对称正定矩阵,定义??x??A= ,证明?????A是一种向量范数. 证明 由Cholesky分解有A=LLT,所以??x??A =??LTx??2,由上题结果知??x??A是一向量范数. 10.对任意矩阵范数?????,求证: 证明 (1)因为??A??=??AI?????A????I?? ,所以??I???1. (2)1???I??=??AA-1?????A????A-1?? ,故 11.证明: (1)如果A为正交矩阵,则Cond2(A)=1; (2)如果A为对称正定矩阵,则Cond2(A)=?1/?n,?1和?n分别为A的最大和最小特征值. 证明 (1)A正交,则ATA=AAT=I, Cond2(A)=??A??2??A-1??2=1. (2)A对称正定, ATA=A2, ??A??2=?1. ??A-1??2=1/?n. (3)??A-1-B-1??=??A-1(B-A)B-1?????A-1????B-1????A-B?? 12.讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中 解 (1) J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为 ?(B)= ,?(G)=1/2, 故J迭代法不收敛,G-S迭代法收敛. (2)类似可得?(B)=0,?(G)=2, 故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.