数字信号处理-第1章概要.ppt

对比（1.3.22）式和(1.3.28)式， 无偏自相关函数与有偏自相关函数的关系式为 （1.3.29） 因为 是无偏估计，因此得到 （1.3.30） 上式说明 是有偏估计，但是渐近无偏，其偏移为 （1.3.31） 在（1.3.30）式中, 的统计平均值等于其真值乘以三角窗函数wB(m)（或称巴特利特窗函数）, (1.3.32) 三角窗函数的波形如图1.3.3所示。只有当m=0时， 才是无偏的，其它m都是有偏的，但当N→∞时，wB(m)→1，B→0, 因此 是渐近无偏。 图 1.3.3 三角窗函数 按照（1.3.29）式, 估计量的方差为 将（1.3.27）式代入上式, 得到 (1.3.34) 显然, 当N→∞时, ，并且 由以上得到结论： 虽然是有偏估计，但是渐近一致估计， 估计量的方差小于 的方差。 因此实际中多用这种有偏自相关函数估计。注意，以后有偏自相关函数改用 表示。 1.4 平稳随机序列通过线性系统 1.4.1 系统响应的均值、 自相关函数和平稳性分析 设所研究的线性系统是稳定非时变的， 其单位脉冲响应为h(n), 输入是平稳随机序列x(n)， 输出为 因为输入是平稳随机序列，E［x(n-k)］=mx，故 (1.4.1) 这样, mx与时间无关，my也与时间无关。先假定输出是非平稳的， 那么， 输出的自相关函数为 因为x(n)是平稳的，因此 所以 （1.4.2） 对于（1.4.2）式, 令l=r-k, 得到 (1.4.3) 式中 (1.4.4) v(l)通常称为h(n)的自相关函数，也可以将v(l)写成卷积形式： v(l)=h*(l)*h(-l)=h*(-l)*h(l) (1.4.5) 上式表示v(l)是h*(l)与h(-l)离散卷积或者是h*(-l)和h(l)的离散卷积。 这样线性系统输出的自相关函数等于输入自相关函数与线性系统单位脉冲响应的自相关函数的卷积。 1.4.2 输出响应的功率谱密度函数 设将（1.4.5）、 (1.4.3)式分别写成Z变换形式, 表示如下: (1.4.6) (1.4.7) 将z=ejω代入上式，得到输出功率谱： Pyy (ejω)=Pxx(ejω)H(ejω)H*(ejω)=Pxx( ejω)|H(ejω)|2 (1.4.8) 如果h(n)是实序列，（1.4.5）、 (1.4.6)、 (1.4.7)式简化为 v(l)=h(l)*h(-l) (1.4.9) V(z)=H(z)H(z-1) (1.4.10) Pyy(z)=Pxx(z)H(z)H(z-1) (1.4.11) 　下面利用(1.4.8)式证明功率谱密度函数的非负性质。  　如果mx=0，按照（1.4.1）式, my=0, 再按照(1.2.39)式和相关函数的性质(2), 得到 将(1.4.8)式带入上式, 得到 由于Pxx(ejω)和|H(ejω)|2均是ω的偶函数, 假设系统的幅度特性|H (ejω) |如图1.4.1所示, 因此 故 Pxx(ejω)≥0, 最后证明了信号的功率谱密度函数是实、偶、非负函数。 图 1.4.1 理想带通滤波器的幅度特性 1.4.3 系统的输入、 输出互相关函数　 　线性非时变系统输入与输出之间互相关函数为 (1.4.12) 因此，输入、输出之间的互相关函数等于系统的单位脉冲响应与输入自相关函数的卷积。一般称(1.4.12)式为输入、输出互相关定理。设x(n)是另均值平稳随机序列，（1.4.12）式的Z变换为 (1.4.13) 输入、输出的功率谱表示为 (1.4.14) 1.4.4 相关卷积定理 将前面推导出的（1.4.3）式和(1.4.4)式重写如下： 该公式用语言叙述如下：x(n)与h(n)卷积的自相关函数等于x(n)的自相关函数和h(n)的自相关函数的卷积。或者简单地说, 卷积的相关等于相关的卷积。 用一般公式表示如下： 如果 e(n)=a(n)*b(n) f(n)=c(n)*d(n) 那么 ref(m)=rac(m) * rbd(m) (1.4.15) 例1.4.1 假设系统的输入、输出和单位脉冲响应分别用x(n)、 y(n)和h(n)表示，试求输入、输出互相关函数和输入自相关函数之间的关系。  解 按照相关卷积定理，得到 x(n)=x(n)*δ(n) y(n)=x(n)*h(n) rxy(m)=rxx(m)*rδh(m)