统计决策理论-bayes定理[29p].pptVIP

统计决策理论 关于统计学的一个笑话： 有一个从没带过小孩的统计学家，因为妻子出门勉强答应照看三个年幼好动的孩子。妻子回家时，他交出一张纸条，写的是： “擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次,累计15次；每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿马路26次；我还要再过这样的星期六0次”。 统计学真的这样呆板吗？仅仅收集数据，整理分析，累加平均… 统计学以数据为研究内容，但仅仅收集数据，决不构成统计学研究的全部。 下面介绍几种最常用、也是最基本的统计决策方法。这些方法是以后各种模式识别方法的基础。 先验概率 预先已知的或者可以估计的模式识别系统位于某种类型的概率，即根据大量统计确定某类事物出现的比例。 如我国理工科大学男女生比例大约为8:2，则在这类学校一个学生是男生的先验概率为0.8，而为女生的概率是0.2，两个概率之和为1。 后验概率 一个具体样本属于某种类别的概率。 例如一个学生用特征向量X表示，它是男性或女性的概率表示成P(男生|X)和P(女生|X)，这就是后验概率。 由于一个学生只可能为两个性别之一，因此有P(男生|X)+P(女生|X)=1，这一点是与类分布密度函数不同的。 后验概率与先验概率也不同，后验概率涉及一个具体事物，而先验概率是泛指一类事物，因此 P(男生|X)和P(男生)是两个不同的概念。 2.1 Bayes定理 假设每个要识别的细胞已作过预处理，并抽取出了d个特征描述量，用一个d维的特征向量X表示，识别的目的是要依据该X向量将细胞划分为正常细胞或者异常细胞。这里我们用ω１表示是正常细胞，而ω２则属于异常细胞。 2.1 Bayes定理 2.2 Bayes决策 例1：在细胞的化验中，要区分正常和异常的两种类型，分别用w1和w2表示，已知p(w1)=0.85, p(w2)=0.15,现有一待测细胞，其观测值为X，从类条件概率密度分析曲线上查得p(x/w1)=0.15, p(x/w2)=0.45,试对该细胞进行分类。 2.2 Bayes决策 2.2.2 最小风险Bayes决策 最小风险Bayes决策是考虑各种错误造成损失不同而提出的一种决策规则。 例如，通过化验判断细胞是不是癌细胞，可能做出两种错误判决：一是把癌细胞错判为正常细胞；一种是把正常细胞错判为癌细胞。这两种错误判决带来的风险显然是不同的。 一般决策表 解：根据风险矩阵表 2.3 分类器的设计 2.3 分类器的设计 至于多类别情况，则对应于一种决策规则要定义一组判别函数：　　 gi(X)， i=1,2,…，c　　 而决策规则可表示成如果　　 则将X归于ωi类 2.3 分类器的设计 * 贝叶斯决策理论方法是统计模式识别中的一个基本方法，用这种方法进行分类时要求满足以下两个条件： （1）各类别总体的概率分布是已知的； （2）要决策的类别数是一定的。 在连续的条件下，假设要识别的对象有d种特征测量值 ，每一种特征都是一个随机变量，因此组成d维随机向量 , d种特征的所有的取值范围构成了d维特征空间。 2.1 Bayes定理 贝叶斯决策理论方法所讨论的问题是：已知总共有c个类别及各类别ωi=1,2,…,c的先验概率P(ωi)及类条件概率密度函数p(x|ωi)已知的条件下，如何对某一样本按其特征向量分类的问题。 由于属于不同类的待识别对象存在着呈现相同观察值的可能，即所观察到的某一样本的特征向量为X，而在c类中又有不止一类可能呈现这一X值，这种可能性可用P(ωi|X)表示。如何作出合理的判决就是贝叶斯决策理论所要讨论的问题。 类条件概率密度函数 系统位于某种类型条件下模式样本出现的概率密度分布函数。 男女生比例是男生与女生这两类事物之间的关系，而男生高度的分布则与女生的分布无关。为了强调是同一类事物内部，因此这种分布密度函数往往表示成条件概率的形式。 例如X表示某一个学生的特征向量，则男生的类条件概率密度表示成P(X|男生)，女生的表示成P(X|女生)，这两者之间没有任何关系，可为从0~1之间的任意值。 贝叶斯公式 两个事物X与w联合出现的概率称为联合概率，可写成P(X，w)，它们又可与条件概率联系起来，即P(X，w)=P(X|w)P(w)=P(w|X)P(X)，这就是贝叶斯公式。 如果将上式中各个项与先验概率，类条件概率密度函数以及后验概率联合起来，可以找到利用先验概率，类条件概率分布密度函数计算后验概率的方法。 下面我们从一个两