第10章 平面图形的几何性质.ppt

二.形心坐标 三、组合图形的静矩和形心 1.静矩 §10.2 惯性矩 惯性积 惯性半径 一、惯性矩与惯性积 2.极惯性矩 二.惯性积的性质 三.常用图形的惯性矩： §10.3 平行轴定理 §10.4 转轴公式 主惯性矩 * Appendix Ⅰ Properties of Plane Areas ——反映平面图形的形状与尺寸的几何量 如： 本章介绍： 平面图形几何性质的定义、计算方法和性质 在轴向拉（压）中： §10.1 静矩与形心 一、静矩 整个图形 A 对 x 轴的静矩： 整个图形 A 对 y 轴的静矩： ydA——微面积 dA 对 x 轴的静矩 xdA——微面积 dA 对 y 轴的静矩 定义： （面积矩） 其值：+、-、0 单位：m3 由理论力学中,均质薄板求质心的公式 即 由此得出 性质1 若某轴过形心，则图形对该轴静矩为零.反之,图形对某轴静矩为零，则该轴必过形心. [例]求三角形ABC对底边BC的静矩 解: b h A B C O y x y 积分得： 组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等） 组成的平面图形 如： 2.形心 例 确定形心坐标 解： 取参考坐标系 xy 整个图形 A 对x 轴的惯性矩 整个图形 A 对 y 轴的惯性矩 y2dA——微面积 dA 对 x 轴的惯性矩 x2dA——微面积 dA 对 y 轴的惯性矩 定义： 其值：+ 单位：m4 1.惯性矩 即： 平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过 该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和 性质2 若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴 整个图形 A 对 x 轴和 y轴的惯性积 定义： xydA——微面积 dA 对 x 轴和 y 轴的惯性积 的坐标轴 其值：+、-、0 单位：m4 假设： x 轴和 y 轴为一对相互垂直 3.惯性积 当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴 在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形 对这对轴的惯性积为零。 性质 3 ： (1). 矩形截面 (2). 圆形截面 O dr r d 由对称性 (3). 环形截面 惯 性 矩——对某一轴而言 极惯性矩——对某一点而言 特别指出： 惯 性 积——对某一对正交轴而言 ——图形对 x 轴的惯性半径 单位： m 四、 惯性半径 在力学计算中，有时把惯性矩写成 即： ——图形对 y 轴的惯性半径 定理推导 即： a b 显然： 性质 4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中，以对形心轴的惯性矩为最小。 同理 惯性矩和惯性积的平行轴定理 解： 例 求 和 xc C c yc 157.5 a 1 a 2 x C 1 x C 2 一、公式推导 规定：? 角逆时针转向为 + 两组坐标系之间的关系： 代入 x 1 y 1 x 1 1 y 显然 显然 性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个 惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯 性矩。 二、主惯性矩 1.定义 主惯性轴——惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴 主惯性矩——图形对主惯性轴的惯性矩 形心主惯性轴——通过图形形心的主惯性轴 形心主惯性矩——图形对形心主惯性轴的惯性矩 性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴 *