第4章 解非线性方程的迭代法.ppt

b2=x2 ;若?(a1)?(x2)0, 取a2=x2 ,b2=b1,得到新的有根区间[a2,b2]。 而且有根区间[a2,b2]长度是有根区间[a1,b1]长度的一半。 一直进行下去, 直到求出有根区间[ak,bk]。 或者有|?(xk+1)|? ,或者有 可见, k趋向无穷大时, xk收敛于?。 而且, 若要|xk-?|? , 只要 此时,再计算 在计算过程中,若出现|?(xk)|?1,或bk-ak?2。则可取xk作为方程?(x)=0的近似根, 终止运算。 例7 用二分法求x3+4x-7=0在区间[1, 2]内根的近似值, 并估计误差。 解 这里?(x)=x3+4x-7， ?(1)?(2)=-180, 而且 ??(x)=3x2+40, 所以?(x)=0在[1,2]区间有唯一根。 取x0=1.5,由于?(x0)=2.375,得新有根区间[1,1.5], x1=1.25,由于?(x1)=-0.0468,得新有根区间[1.25,1.5], x2=1.375,由于?(x2)=1.0996,得新有根区间[1.25,1.375], x3=1.3125,由于?(x3)=0.511,得新有根区间[1.25,1.3125], x9=1.254882813,得有根区间[1.254882813,1.255859375], x10=1.255371094, ?(x10)=-0.000105285 取??x10=1.255371094作为方程根的近似值,且有 只需k5ln210-1?15.61， 即需取??x16。 如果取精度?=10-5, 则要使 ………………………………………………… 二分法要求函数在区间[a，b]上连续，且在区间两端点函数值符号相反，二分法运算简便、可靠、易于在计算机上实现。 但是，若方程?(x)=0 在区间[a，b]上根多于1个时，也只能求出其中的一个根。 另外，若方程?(x)=0在区间[a，b]有重根时，也未必满足?(a)?(b)0。 练习题 第102页 习题4 4-1, 4-3 而且由于二分法收敛的速度不是很快,一般不单独使用, 而多用于为其他方法提供一个比较好的初始近似值。 练习题 第102页 习题4 4-4, 4-5, 4-7, 4-8, 练习题 第102页 习题4 4-10，4-12, 4-13, 例如 x 0 y y＝f(x) a b ?1 ?2 ?3 x0 例如 x 0 y y＝(x-?)2 a b ? Ax＝b ?x＝Mx＋g x(k+1)＝Mx(k)＋g k＝0，1，2，… 只要{x(k)} 收敛，必收敛于Ax＝b 的解。 迭代法x(k+1)＝Mx(k)＋g收敛当且仅当?(M)1。 课堂练习 证明方程x3-x-5=0在区间［1，2］有唯一根。构造一种收敛的迭代格式xk+1=?(xｋ)，k=0，1，2，…，使对任何初值x0?[1,2]都收敛, 并说明收敛理由和收敛阶。 解 这里?(x)=x3－x-5， ?(1)?(2)=-50, 而且 ??(x)=3x2－10, 所以?(x)=0在[1,2]区间有唯一根。 ,建立迭代格式 改写原方程为等价方程 由于?(x)＝(x+5)1/3满足：161/3??(x)?71/32, 而且 |??(x)|＝(x+5)－2/3/31/31, 故对x0?[1,2]都收敛。 由??(?)＝(?+5)－2/3/3?0, 故为线性收敛。 课间休息 设线性方程组 (1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时, 预估误差??x*-x(10)??? (取三位有效数字). 课堂练习 (2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当0??1时收敛. 解 (1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为 (3)由(1)可见??B???=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是??x(1)-x(0)???=1/2,所以有