第4章 平面图形几何性质.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * §4–1 静矩与形心 §4–2、3 惯性矩、惯性半径和惯性积 第4章 截面图形的几何性质 §4–4 平行移轴定理 §4–5 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩 §4-1 静矩与形心 一、静矩S――面积对轴的一次矩：(与力矩类似) 是面积与其到轴的距离之积。 dA x y y x 代数值； m3 二、平面图形的形心： dA x y y x C 若y轴通过形心C，则Sy≡0 若x轴通过形心C，则Sx≡0 [例]：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。 解： 形心坐标： 静矩： 面积： C yC zC 例 试确定下图的形心。 解 ： 组合图形，用正负面积法解之。 1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a) 80 120 10 10 x y C2 图(a) C1 C1(0,0) C2(-35,60) 2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b) 图(b) C1（0,0） C2（5,5） C2 负面积 C1 x y 80 120 §4-2、3 惯性矩、惯性半径、惯性积 一、轴惯性矩：(与转动惯量类似）面积对面内轴的二次矩 是面积与它到面内轴的距离的平方之积。 dA x y y x r 二、极惯性矩：面积对法线轴的二次矩，即是面积对极点的二次矩。 恒为正；m4 工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径 其几何意义是：所有的面积似乎都分布在离矩轴为i 的位置 截面图形 C h b C x y x x y y d d C D 常见图形的轴惯性矩和极惯性矩 dA x y y x r 三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 常见的如 x 或 y 是对称轴 则Ixy =0 如果 x 或 y 是形心惯性主轴， 则Ixy =0 有关惯性主轴的概念，将在§4-5介绍 因此惯性积是代数值 §4-4 平行移轴定理 一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似） 以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图，则有： dA x y y x r a b C x’ y’ x’ y’ 注意: C点必须为形心 [例] 求图示圆对其切线AB的惯性矩。 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理求。 B 建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。 A d x y O 5 30 5 30 5 30 5 30 C1 C2 解：1、求形心位置： x1 y 在x1y系下： C yC 2、在xy系下 x 例求图示T型截面对形心轴的惯性矩。 单位mm x2 a §4-5 转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩 一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 dA x y y x a x’ y’ x1 y1 O 类似地，有 dA x y y x a x’ y’ x1 y1 二、对任意点主惯性轴和主惯性矩 1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到?= ?0 时有 与 ?0 对应的旋转轴xα yα 称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩称为主惯性矩。 令 由 当 其中一个为极大值，另一个为极小值 设矩轴的原点为平面图形上任意点O，则其主惯性轴称为过O点的主惯性轴 1、平面图形对主惯性轴的轴关性矩取极大（极小）值；其中一个为极大值；另一个为极小值 2、平面图形对主惯性轴的惯性积必为零。 平面图形对过O点的主惯性轴有以下重要性质： 小结 dA x y y x a x’ y’ x1 y1 三.形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩 xC yC dA C x’C y’C α 其形心主惯性矩为： 2、平面图形对形心主惯性轴的轴关系矩取最大（最小）值；其中一个为最大值；另一个为最小值。因此平面图形对对称轴的惯性矩为最大（最小）值 3、平面图形对形心主惯性轴的惯性积必为零。因此平面图形对对称轴的惯性积为零 平面图形的形心主惯性轴有以下重要性质： 1、平面图形若有对称轴，则该轴即为形心主惯性轴之一。 xC yC dA C x’C y’C α 3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系 ②计算面积和静矩 ③求形心位置 ④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC ⑤求形心主轴方向 — ?0 ⑥求形心主惯性矩 [例] 在矩形内左右对称地挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d) 解： ①建立坐标系如图。 ②求形心位置。