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第4章 插值法 §1 插值问题 §2 线性插值与二次插值 §3 代数多项式插值的存在唯一性 §4 代数多项式的余项 §5 拉格朗日插值多项式 §6 牛顿差值插值多项式 §7 牛顿前差和后差插值多项式 §8 三次样条插值 §10 曲线拟合法 §1 插值问题 设函数关系y=f(x)在区间［a,b］上给出一系列点的函数值 yi=f(xi), i=0,1,2,…,n (4―1) 或者给出一张函数表,如表4―1所示。 这里 a≤x0＜x1＜x2＜…＜x≤b 欲选择一个函数p(x),使得 p(xi)=yi, i=0,1,2,…,n (4―2) 作为函数y=f(x)的近似表达式。 线性插值和二次插值都属于代数多项式插值。对于一般的代数插值问题,就是寻求一个不高于n次的代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn (4―9) 使其在给定的n+1个互异的插值基点上满足插值原则 Pn(xi)=yi, i=0,1,…,n (4―10) 由于代数多项式具有形式简单,便于计算,且在某些情况下与给定的函数有较好 的逼近的特性,人们很早就用它去近似地表示复杂的函数或由表格给出的函数。 若仅限于求函数在x=x0附近的近似值,一个熟知的办法就是将f(x)在x=x0处 展成泰勒级数,即 取前n+1项的部分和Pn(x)作为f(x)的近似式,也即 §2 线性插值与二次插值 2.1 线性插值 线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设给定了函数f(x)在两个互异点x0,x1的值,即 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在给定节点x0,x1上的值分别为y0,y1构造一个不超过一次的多项式:? L1(x)=a0+a1x使之满足条件 ：L1(x0)=y0, L1(x1)=y1　　它的几何意义是，求通过给定点M0(x0,y0), M1(x1,y1)的一直线y=L1(x)近似曲线y=f(x)，如图2.1所示 由解析几何知，过给定两点M0(x0,y0), M1(x1,y1)的直线方程为： 若记 则（2.1）式可写成 定理1 设f/(x)在[x0,x1]上连续，f//(x)在(x0,x1)内存在， L1(x)是满足插值条件条件的插值多项式，则对[x0,x1]内任意的点x，插值的截断误差为 现要用一线性函数 φ(x)=P1(x)=ax+b (4―3) 近似地代替f(x)。按照插值原则,式(4―2)应有 代入式(4―3)得 因为P1(x)就是经过两点A(x0,y0),B(x1,y1)的直线方程,所以线性插值的几何意义为用经过两点A(x0,y0),B(x1,y1)的直线近似地代替曲线y=f(x),见图4.1。 4.1.2 二次插值 二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数多项式插值之一。设已知函数f(x)的三个互异插值基点x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示: 现要构造一个二次函数 φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c (4―6) 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2) P2(xi)=yi, i=0,1,2,… (4―7) 由(4―7)式得 由于方程组(4―8)中x0,x1,x2互异,则 作为任一xi点的n次插值基函数分别为li(x)，由于在除xi 外所有节点取值皆为0，因此，li(x)含有因子（x-x0）…（x-xi-1）（x-xi+1）…（x-xn）,又因为li(x)为n次多项式，故li(x)可表示为：li