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第5章 角动量 关于对称性习题课 例1.有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： （1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中，( ) （A）只有（1）是正确的。 （B）（1）、（2）正确，（3）、（4）错误。 （C）（1）、（2）、（3）都正确，（4）错误。 （D）（1）、（2）、（3）、（4）都正确。 B 解：力作用在一个有固定转轴的刚体上，其力矩垂直于轴作用时才能产生转动，（1）和（2）是正确的；但是，当两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩不一定是零，同理当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也不一定是零，所以（3）和（4）是错误的。故选（B）。 例2.有一半径为R的水平圆转台，可绕过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J。开始时，转台以角速度ω0转动，此时有一质量为M的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去。当人到达转台边缘时，转台的角速度为 （ ） （A）、 ；（B）、 ； （C）、 ； （D）、ω0。 A 解：根据题意可知：人沿半径向外跑去，系统所受合外力矩为零，系统的角动量守恒，即 ， （当人到达转台边缘时，系统的转动惯量为 ），故选（A）。 例3. 一小球在竖直平面内作匀速圆周运动，则小球在运动过程中（ ） （A）机械能不守恒、动量不守恒、角动量守恒 （B）机械能守恒、动量不守恒、角动量不守恒 （C）机械能不守恒、动量守恒、角动量不守恒 （D）机械能守恒、动量守恒、角动量守恒 A 解：小球在竖直平面内作匀速圆周运动，其动能不变，势能改变，所以机械能不守恒。 小球在运动过程中，速度方向在改变，所以动量不守恒. 由于小球作匀速圆周运动，它所受的合力指向圆心，力矩为零，所以角动量守恒. 例4. X轴沿水平方向，Y轴竖直向下，在 t=0时刻将质量为m 的质点由a处（距离坐标原点O为b）静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t，质点所受的重力对原点O的力矩 ________，在任意时刻t，质点对原点O的角动量 _______ 。 x y o a 提示： 或 例 5.地球半径R=6378km, 卫星离地面最近 距离为l1 = 439km,最远距离为l2 = 2384km ,设 近地点卫星速度为 v1 = 8.1km/s。求：远地点卫星速度。 m v R l 1 1 v 2 l 2 解： 由角动量守恒得： ( ) R m v l 1 1 + ( ) R m v l 2 2 + = = v 2 ( ) R l 1 + ( ) R l 2 + v 1 = 6.3(km.s ) -1 例6. 如图3-59所示，在光滑的水平面上有一轻质弹簧（其劲度系数为k），它的一端固定，另一端系一质量为m1 的滑块。最初滑块静止时，弹簧呈自然长度 l0，今有一质量为 m2的子弹以速度 v0沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度l 时，求滑块速度的大小和方向。 分析：在子弹与滑块碰撞过程中，以子弹和滑块为一系统，在水平方向系统所受合外力为零，则动量守恒；在子弹与滑块碰撞后，子弹留在滑块内并以共同速度运动，在此过程中，弹簧不断伸长，若取子弹和滑块为一系统，则系统将受弹力作用，但弹力对于固定点O并不产生力矩，则角动量守恒；在此过程中，若取子弹、滑块、弹簧和地球为一系统，只有弹力做功，则机械能守恒，这样，当弹簧伸长至 l时滑块速度的大小和方向就可通过上面三条守恒定律求得。 解：设vA 、vB 、θ 分别表示为子弹嵌入滑块后的共同速度、弹簧被拉伸至长度l 时滑块的速度、弹簧被拉伸至长度l 时滑块的速度与拉伸长度 的延长线之间夹角，如图3-59所示。在子弹与滑块碰撞过程中，以子弹和滑块为一系统，由动量守恒定律得 在子弹与滑块碰撞后运动过程中，取子弹、滑块、弹簧和地球为一系统，只有弹力做功，由机械能守恒定律得 （1） （2） （3） 联解（1）、（2）、（3）式可得当弹簧被拉伸至长度 时滑块速度的大小和方向 在子弹与滑块碰撞后运动过程中，取子弹和滑块为一系统，由角动量守恒定律得 例7.花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J0角速度为?0，然后她将两臂收回，使转动惯量减少为J0/