第7次课-镜像法与电轴法.ppt

第 一 章 静 电 场 1.7 镜像法与电轴法 Image Method and Electric Axis Method 镜像法与电轴法的基本思想 根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的复杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单分布电荷电场的问题。是唯一性定理的典型应用之例，可使某些问题化难为易。 镜像法是一种求解边值问题的间接计算方法。用放置在所求场域之外的假想的镜像电荷等效替代导体表面感应电荷或介质分界面极化电荷对电场分布的影响。 只要不改变求解区域的电荷分布，边界条件和边值关系，镜像电荷可以取代感应电荷，镜像电荷在所考虑区域产生的电场就是感应电荷产生的电场。 1.7.1 镜像法（Image Method) 图1.7.1 平面导体的镜像 方程相同，边界条件相同，解惟一。 空气中除点电荷外 ， a 上半场域除点电荷外 b 1. 点电荷对平面导体的镜像 上半场域的电位和电场 -q 是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板上复杂分布的感应电荷的作用； 注意 镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外； 根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可作相应的镜像。 p r1 r2 地面上感应电荷的总量为 （方向指向地面） 例1.7.1 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。 解：设点电荷 q 镜像后 图1.7.2 地面电荷分布 镜像法小结 镜像法的理论基础是： 镜像法的实质是： 镜像法的关键是： 镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区 域。叠加时，要注意场的适用区域。 用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀媒质； 静电场惟一性定理； 确定镜像电荷的个数、大小及位置； 应用镜像法解题时，注意： 点电荷位于接地导体球外的边值问题 （除q点外的空间) 设镜像电荷 如图，球面电位 图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像 2. 点电荷对球面导体的镜像 将 r1, r2 代入方程 ，得 联立求解 得到 镜像电荷位置 镜像电荷大小 球外任一点 P 的电位与电场为 图1.7.5 球外的电场分布 镜像电荷放在当前求解的场域外。 镜像电荷等于负的感应电荷总量。 图1.7.4 球外的电场计算 例1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。 则 任一点场强 解： 边值问题 （除q点外的空间) 通量为零（ 大小相等） 球面等位（ 位于球心） 思路 图1.7.6 不接地金属球的镜像 图1.7.7 点电荷位于不接地导体 球附近的场图 任一点电位 球面电位 3. 不同介质分界面的镜像 根据惟一性定理 图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像 和 解得 图1.7.10 电场分布图 试确定下图镜像电荷的个数、大小与位置。 思考题： 中的电场由 q 与 q’ 共同产生，q’等效替代极化电荷的影响。 中的电场由 q” 决定，q” 等效替代自由电荷与极化电荷的作用。 图1.7.11 点电荷 q1 与 q2 分别置于 与 区域中 思考 提示 1.7.2 电轴法（Electric Axis Method） (导线以外的空间) 能否用高斯定律求解？ 思考 边值问题 1.7.12 长直平行双传输线 1. 两根细导线产生的电位 以 y 轴为参考电位， C=0， 则 令： C， 等位线方程 图1.7.13 两根带电细导线 K 取不同值时，得到一族偏心圆。 a、h、b满足关系 整理后，等位线方程 圆心坐标 圆半径 图1.7.14 两根细导线的等位线