04非线性回归模型的线性化.ppt

第四章 非线性回归模型的线性化 * * 4.1、 变量间的线性关系 迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家 所熟悉的柯布-道格拉斯生产函数: 就是一例。 在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为线性关系处理，另一些则不能。 下面来讨论这个问题。 * * 4.1.1. 线性模型含义的回顾 线性模型的基本形式是: 其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相乘的形式。 线性模型的线性包含两重含义： （1）变量的线性 变量以其原型出现在模型之中，而不是以X2或Xβ之类的函数形式出现在模型中。 （2）参数的线性 因变量Y是各参数的线性函数。 * * 4.1.2. 非线性模型中变量间的关系 非线性模型的一般形式是 其中f是关于解释变量和未知参数的一个非线性函数。 上式中解释变量的个数k与参数个数m不一定相 等，这与线性模型不同。 有些模型看似非线性，但经过适当变换能变成线性模型，可以按线性模型建模、估计与预测。 * * 在非线性模型 中，存在下面的三种情况： 1、被解释变量与解释变量之间不存在线性关系，但被解释变量与未知参数存在线性关系，例如经济学中总成本与产量之间的关系就是如此； 2、被解释变量与解释变量、未知参数之间都不存在线性关系，但是可以通过适当的变换，变成线性的关系，例如C-D生产函数就是如此； 3、被解释变量与解释变量、未知参数之间都不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换，变成线性关系，例如： * * 4.1.3、非线性回归模型的基本假定 1．扰动项零均值： 2．无自相关性： 3．同方差性： ，其中为有限常数。 4．解释变量为非随机变量 5．函数性质：一般情况下，假设 为二阶连续可微函数。 6．模型参数可识别 7．分布假定：零均值、同方差。在极大似然估计中，需要对扰动项的分布做出假设，一般假设其服从正态分布。 * * 4.2、线性化方法 1、 被解释变量与解释变量之间不存在线性关系，与未知参数之间存在线性关系的模型，其线性化的方法为：变量替换法；然后利用OLS估计参数。 2、被解释变量与解释变量、未知参数之间不存在线性关系，但可线性化的模型的线性化方法为：对数法和变量替换法；然后利用OLS估计参数。 3、真正意义上的非线性模型，需要进行线性化处理。 下面以具体模型的形式来看线性化处理方法。 * * 4.2.1、线性化方法 在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有对数线性模型、半对数线性模型、倒数线性模型、多项式线性模型、成长曲线模型等。 1．对数模型 模型形式： * * 容易推广到模型中存在多个解释变量的情形。例如，柯布——道格拉斯生产函数形式。 * * * * 2．半对数模型 在对经济变量的变动规律研究中，测定其增长率或衰减率是一个重要方面。在回归分析中，我们可以用半对数模型来测度这些增长率。 模型形式： 表示什么意义呢？（思考） * * 3．倒数模型 形如： 的模型称为倒数模型，也称为双曲线函数。 就可将其模型化为标准的线性模型。 4．多项式模型 多项式回归模型在生产与成本函数这个领域中被广泛地使用。多项式回归模型可表示为 * * 4.2.2、特别注意： 对于线性回归分析，只有第二种类型的线性才是重要的，因为变量的非线性可通过适当的重新定义来解决。例如，对于 此方程的变量和参数都是线性的。 * * 参数的非线性是一个严重得多的问题，因为它不能仅凭重定义来处理。可是，如果模型的右端由一系列的Xβ或eβX项相乘，并且扰动项也是乘积形式的，则该模型可通过两边取对数线性化。 例如，需求函数 其中，Y=对某商品的需求 X=收入 P=相对价格指数 ν=扰动项 可转换为： * * 用X,Y,P的数据，我们可得到logY,logX和logP,从而可以用OLS法估计上式。 logX的系数是β的估计值，经济含义是需求的收入弹性，logP的系数将是γ