图论-数学建模课件.ppt

A 避圈法 这种方法就是在已给的图G中，每步选出一条边使它与已选边不构成圈，直到选够n-1条边为止. 这种方法可称为“避圈法”或“加边法” 在避圈法中，按照边的选法不同，找图中生成树的方法可分为两种：深探法和广探法. a) 深探法 若这样的边的另一端均已有标号，就退到标号为 步骤如下： i) 在点集V中任取一点u, ii) 若某点v已得标号，检 端是否均已标号. 若有边vw之w未标号,则给 w代v，重复ii). i-1的r点,以r代v,重复ii),直到全部点得到标号为止. 给以标号0. 查一端点为v的各边，另一 w以标号i+1，记下边vw.令 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 例用深探法求出下图10的一棵生成树 b)广探法 步骤如下： i) 在点集V中任取一点u, ii) 令所有标号i的点集为 是否均已标号. 对所有未标 号之点均标以i+1,记下这些 iii) 对标号i+1的点重复步 步骤ii)，直到全部点得到 给u以标号0. Vi,检查[Vi,V\Vi]中的边端点 边. 例用广探法求出下图10的一棵生成树 标号为止. 图10 3 1 0 1 2 2 1 3 2 1 2 2 3 4 B 破圈法 相对于避圈法，还有一种求生成树的方法叫做“破圈法”. 这种方法就是在图G中任取一个圈，任意舍弃一条边，将这个圈破掉，重复这个步骤直到图G中没有圈为止. 例 用破圈法求出 下图的一棵生成树. 图的生成树不是唯一的 . A Kruskal算法（或避圈法） 步骤如下： 1) 选择边e1，使得w(e1)尽可能小； 2) 若已选定边 ，则从 中选取 ，使得: i) 为无圈图， ii) 是满足i)的尽可能小的权， 3) 当第2)步不能继续执行时，则停止. 定理4 由Kruskal算法构作的任何生成树 都是最小树. 最小生成树与算法 例 用Kruskal算法求下图的最小树. 在左图中 权值 最小的边有 任取一条 在 中选取权值 最小的边 中权值最小边有 , 从中选 任取一条边 会与已选边构成圈,故停止,得 中选取在中选取 中选取 . 但 与 都 B破圈法 算法2 步骤如下： 1) 从图G中任选一棵树T1. 2) 加上一条弦e1，T1+e1中 立即生成一个圈. 去掉此 圈中最大权边，得到新 树T2,以T2代T1,重复2)再 检查剩余的弦，直到全 部弦检查完毕为止. 例 用破圈法求下图的最小树. prim算法构造最小生成树 设置两个集合P和Q,其中P用于存放的最小生成 树G中的顶点，集合Q存放的最小生成树G中的边。令 集合P的初值为 （假设构造最小生成树时，从 顶点 出发），集合Q的初值为 。 prim算法的思想是，从所有 ， 的边 中，选取具有最小权值的边 ，将顶点v加入 集合P中，将边pv加入集合Q中，如此不断重复，直 到 P=V 时，最小生成树构造完毕，这时集合Q中包 含了最小生成树的所有边。 例11 用prim算法求右图的最小生成树。 我们用的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合。 Matlab程序如下： clc;clear; M=1000; a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40; a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70; a=[a;zeros(2,7)]; a=a+a;a(find(a==0))=M; result=[];p=1;tb=2:length(a); while length(result)~=length(a)-1 result = temp=a(p,tb); temp=temp(:); 1 2 5 4 4 7 d=min(temp); 2 5 4 6 7 3 [jb,kb]=find(a(p,tb)==d); 50 40