图论的基本算法课件.ppt

分析 （1）根据的得到邻接矩阵对子工程进行拓扑排序。如果该图能够进行拓扑排序的话，证明有解，反之则无解。 （2）根据的得到拓扑序列进行动态规划求解，得到工程所需的完成时间。动态规划方程：F[I]=MAX{F[J]}+COST[I] {A[I，J] 0，第I子工程必须在子工程J之后完工} F[I]表示完成子工程I所需的最早时间，COST[I]表示完成子工程I所需的时间。 （3）根据的得到的F序列和拓扑序列，查找关键工程。 如果F[I]=F[J]-COST[J]（A[J，I] 0）的话且第I个子工程为关键工程，那么第J个子工程也是关键工程。初始时，最后完成的一个或多个工程为关键工程。 这一道试题的时间复杂度大致为O(N2)。 算法 思想：求事件的最早开始时间ve[i]和最迟开始时间vl[i]。 从ve(1)=0开始往前递推 ve(j)=Max{ve(i)+dut(i,j)} 从vl(n)=ve(n)开始往后递推 vl(i)=Min{vl(j)-dut(i,j)} 算法步骤： 1)输入e条弧j,k建立AOE-网的存储结构 2)从源点V1出发,令ve[1]=0，按拓扑有序求其余各定点最早发生时间ve[i]。如果得到拓扑有序序列中顶点个数小于网中顶点数n，则说明网中存在环，不能求关键路径，算法中止；否则执行步骤3 3)从汇点Vn出发，令vl[n]=ve[n]，按逆拓扑有序求其余各定点的最迟发生时间vl[i] 4)根据各定点的ve和vl的值求每条弧的最早开始时间e(s)和最迟开始时间l(s)。若满足e(s)=l(s),则该活动为关键活动 求关键路径 PROC critical_path(Var dig:adjlisttp); crt_adjlist(dig); if not toporder(dig) then writeln(Has a cycle) else [ vl[1..n]:=ve[n]; {初始化最迟发生时间} while Not empty(top2) Do [ j:=pop(top2); k:= firstadj(dig,j); while k0 do [ if vl[k]-dut(j,k)vl[j] then vl[j]:=vl[k]-dut(j,k); k:=nextadj(dig,j,k); ] Kruskal算法的正确性 把一个二元组(E, I)叫做一个子集系统，如果满足： 1．E是一个非空集合 2．I是E的一个子集族，它在包含运算下封闭，即I的每个元素a都是E的一个子集，并对于a的任何子集a’，a’一定也是I的元素。 3．给E中每个元素e赋予一个正权w(e)。 考虑至少有一条边的带权无向连通图G 它的边集为E 它的所有生成森林的集合为I 则(E,I)是一个子集系统，称为生成森林子集系统 E非空，所以满足条件1 生成森林是E的一个边集，而且其生成子图仍是生成森林，满足2 G是带权的，所以满足3。  子集优化问题 极大独立集 把I中的元素都称为独立集 对于I中的元素a，如果不存在I中的另一个元素a’使得a是a’的真子集，则称a是极大独立集。 该极大独立集的基数为它包含的元素个数 在刚才介绍的子集系统中，G的所有生成树就是所有的极大独立集。所有极大独立集具有相同的基数|V|-1。其中|V|为G的顶点数。 子集优化问题 在子集系统(E, I)中选取一个元素S∈I，使得w(S)最大（定义w(S)为S中所有元素的权和） 子集优化问题的贪心算法 贪心算法 先把E中元素按照权值从大到小排序为e1,e2,… 令集合S=空集 然后每次尝试着把e1,e2,…，添加到S里面 如果添加之后S仍是独立集，则添加成功 如果S不是独立集，则由定义知以后无论怎样继续添加元素，得到的集合都不可能重新成为独立集，因此撤消此添加操作。 Kruskal算法是生成森林子集系统的贪心算法！ 贪心算法在什么子集系统下是的对的呢？ 定理 贪心算法正确，当且仅当这个系统的极大独立集具有相同的基数 满足条件的子集系统称为“矩阵胚(matroid)” 快速判断是否产生圈 需要借助数据结构！ 我们的算法要求 判断两个点是否在同一棵树中 产生圈当且仅当此边连接同一树中的点！ 快速把两棵树合并 加边意味着两棵树合为一棵 抽象数据类型：并查集！ 经典实现：森林 并查集的森林实现 森林中的每棵树表示不同的集合 树的形态并不重要，有意义的只是“哪些元素在树中” 并查集的操作 查找 用树根作为集合的标识 不断的找父亲，最终将找到树根 要找多少次父亲？和