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塑性力学03 * 第三章 塑性本构关系—全量理论和增量理论 引言:塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本构关系问题还没有得到满意的解决.现在广义采用的理论分为两大类: (1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力和应变全量之间的关系. 有Hencky(亨奇)理论和Il’yushin (伊柳辛)理论. (2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间随关系.有Levy-Mises(莱维-米泽斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论. 3-1 建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素: (1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件. 其中(1)和(3) 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点. 3-2 广义Hooke定律 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 也可以表示为: 我们来证明一下: 由应力和应变的分解式,即 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 所以也可写成如下形式 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 这是七个方程 第二个式子是六个方程,但因为有 , 所以有5个是独立的.从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 第二式也可以写成 ,把它代入应力强度的表达式就可以得到下面的第二式, 然后有 再代回上面第一式得到下面的第二式. 3-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: (1) 体积变形式弹性的, 即 (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例 这个假定就是应力和应变的定性关系, 即方向关系和分配关系. 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指应变偏量和应力偏量成正比. 形式上和广义Hooke定律相似, 但这里的比例系数不是一个常数.这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系数等于什么? 因为应力强度和应变强度的公式为: 把 代入上面右式并考虑上面左式得到 (3)应力强度是应变强度的强度函数 , 即按单一曲线假定的硬化条件. 综上所述, 全量型塑性本构方程为 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加载的标志是应力强度 成单调增长. 下降时为卸载过程, 它时服从增量Hooke定律. 3-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 内给定体力 ,在应力边界 上给定面力 , 在位移边界 上给定位移为 , 要求确定物体内处于塑性变形状态的各点的应力 , 应变 和位移 .按照全量理论,确定这些基本未知量的基本方程有 平衡方程 几何方程 本构方程 其中 边界条件 这就是对于全量理论的塑性力学的边值问题. 3-5 全量理论的适用范围 简单加载定律 全量理论适用小变形并且是简单加载. 那么上面是简单加载? 理论上上指在加载过程中物体每一点的各个应力分量按比例增长. 即 其中 是某一非零的参考应力状态, 是单调增加的参数.这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方向都保持不变. 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以证明物体内所有各点是处于简单加载过程: (1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零. (2) 材料是不可压缩的. (3)应力强度和应变强度之间幂指数关系, 即 这就是Il’yushin简单加载定律.有人认为只有第(1)条就可以了. 3-6 卸载定律 从单向拉伸实验的应力应变曲线看:加载至过弹性极限达到A点,然后卸载至B点, 此时总应变 的弹性部分 中的部分应变 得到恢复,塑性应变部分 要被保留下来.此时的应力和应变的改变量, 即B点的应力和应变为 因为卸载要服从弹性本构关系, 即 . 这就是说,我们可以由因为卸载引起的荷载的改变 量 按弹性计算得到. 推广到复杂应力的卸载情况