复变§5-1课件.pptVIP

* 内 容 简 介 本章,我们以洛朗级数为工具,首先对解析函数的孤立奇点进行分类,再对它在孤立奇点邻域内性质进行研究,这些讨论都是学习留数的基础. 这一章是第三章Cauchy积分理论的继续,留数 在复变函数论本身及实际应用中都很重要,它和计 算沿闭曲线积分问题有密切关系. 第五章　留　数(Residue) 1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系 §1 孤立奇点 1. 定义 定义 例如 ----z=0为孤立奇点 ----z=0及z=1/n? (n = ?1 , ?2 ,…)都是它的奇点 ----z=1为孤立奇点 ~~~~~~~~~ x y o 这说明奇点未 必是孤立的。 2. 分类 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立奇点进行分类。考察： 特点： 没有负幂次项 特点： 只有有限负幂次项 特点： 有无穷多负幂次项 定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，若 没有负幂次项，称z=z0为可去奇点; 只有有限负幂次项，称z=z0为m 级极点; 有无穷多负幂次项，称z=z0为本性奇点。 ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ 3. 性质 　若z0为f (z)的可去奇点 　若z0为f (z)的m (m ? 1) 级极点 例如： z=1为f (z)的一个三级极点， z=?i为f (z)的一级极点。 　若z0为f (z)的本性奇点 4. 零点与极点的关系 定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成 则称z=z0为f (z) 的m 级零点。 例如： 定理 事实上， 必要性得证！ 充分性略！ 例如 定理 证明 “?”　若z0为f (z)的m 级极点 例 解　显然，z=?i 是(1+z2)的一级零点 综合 *